Необхідно показати, що пряма вd паралельна площині, на якій знаходиться квадрат b1d1c1b1, враховуючи, що кожна грань

Ledyanoy_Drakon

37

Щоб показати, що пряма \( d \) паралельна площині, на якій знаходиться квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \), нам потрібно довести, що вектор-напрямок прямої \( \vec{d} \) такий же, як вектор-нормаль площини, на якій знаходиться квадрат.

Квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \) є паралелограмом, оскільки протилежні сторони паралельні. Передумовою того, що пряма \( d \) паралельна площині, є те, що всі грані куба, а тому і квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \), є паралельними до вектора-нормалі площині.

Вектор, який задає напрямок прямої \( \vec{d} \), можна отримати, віднявши координати двох точок, через які проходить пряма \( d \). Зазначимо ці точки як \( A \) і \( B \). Тоді вектор-напрямок прямої \( \vec{d} \) буде:

\[ \vec{d} = \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} \]

Тепер нам потрібно знайти вектор-нормаль площини, на якій знаходиться квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \). Щоб це зробити, можемо взяти будь-які три неколінеарні точки, що лежать на площині. Зазначимо ці точки як \( P \), \( Q \) і \( R \). Вектор-нормаль \( \vec{N} \) буде перпендикулярним до вектору, утвореного точками \( P \), \( Q \) і \( R \).

\[ \vec{N} = (\vec{Q} - \vec{P}) \times (\vec{R} - \vec{P}) \]

Далі, щоб показати, що вектор-напрямок прямої \( \vec{d} \) такий же, як вектор-нормаль \( \vec{N} \), ми можемо порівняти їх за допомогою векторного добутку:

\[ \vec{d} \times \vec{N} = 0 \]

Якщо ця рівність виконується, це означає, що вектори є колінеарними і пряма \( d \) є паралельною площині, на якій знаходиться квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \).

Тепер врахуємо, що грані куба є квадратами. Оскільки квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \) являє собою грань куба, то всі його сторони будуть паралельними до сторін куба. Це означає, що вектор-нормаль площини, на якій знаходиться квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \), буде паралельний грані куба.

Отже, шляхом обчислення вектора-напрямку прямої \( \vec{d} \) та вектора-нормалі \( \vec{N} \), і порівняння їх за допомогою векторного добутку, ми можемо показати, що пряма \( d \) паралельна площині, на якій знаходиться квадрат \( b_1d_1c_1b_1 \).