Необходимо доказать, что для заданной последовательности положительных чисел а1, а2...а2020 выполняется неравенство

Летучий_Мыш

43

Для доказательства данного неравенства будем использовать метод математической индукции. Давайте посмотрим на базовый случай, когда количество элементов в последовательности равно 1.

При n = 1 у нас есть только один элемент, то есть a1/(a1) = 1 ≥ 2020/2019. Базовый случай выполняется.

Предположение индукции: Пусть неравенство выполняется для произвольного n=k, т.е. для последовательности из k положительных чисел.

Теперь докажем, что неравенство выполняется для случая n=k+1, то есть для последовательности из (k+1) положительного числа.

У нас есть последовательность: a1, a2, ..., ak, ak+1.

Разделим все слагаемые на сумму оставшихся (k+1) элементов.

Ясно, что a1/(a2+a3+...+ak+ak+1) + a2/(a1+a3+...ak+ak+1) + ... + ak+1/(a1+a2+...+ak) является суммой долей от суммы оставшихся (k+1) элементов.

Допустим, для нашей последовательности выполняется неравенство:

\[\frac{a1}{S}+\frac{a2}{S}+...+\frac{ak}{S} +\frac{ak+1}{S} ≥ \frac{k+1}{k}\], где S = a1+a2+a3+...+ak+ak+1.

Тогда нас интересует, выполняется ли неравенство для следующей последовательности:

a1, a2, ..., ak+1.

Подставим наше предположение индукции в это неравенство:

\[\frac{a1}{S}+\frac{a2}{S}+...+\frac{ak}{S} +\frac{ak+1}{S} + \frac{ak+1}{S} ≥ \frac{k+2}{k+1}\].

После преобразований получим:

\[\frac{a1+a2+...+ak+ak+1}{S} + \frac{ak+1}{S} ≥ \frac{k+2}{k+1}\].

Мы заметим, что сумма a1+a2+...+ak+ak+1 равна S, поэтому последнее неравенство преобразуется в:

\[\frac{S}{S} + \frac{ak+1}{S} ≥ \frac{k+2}{k+1}\].

Значит, нам нужно доказать:

1 + \frac{ak+1}{S} ≥ \frac{k+2}{k+1}.

После преобразований получим:

\[\frac{ak+1}{S} ≥ \frac{1}{k+1}\].

Так как ak+1 является положительным числом, это неравенство выполняется.

Итак, неравенство справедливо для всех n∈N.

Таким образом, мы доказали что для заданной последовательности положительных чисел a1, a2...a2020 выполняется неравенство:

\[\frac{a1}{a2+a3+...+a2020} + \frac{a2}{a1+a3+...a2020} + ... + \frac{a2020}{a1+a2+...a2019} ≥ \frac{2020}{2019}\].