Необходимо доказать, что на плоскости, взятой произвольно, для пяти точек A, B, C, D, E выполняется следующее
Необходимо доказать, что на плоскости, взятой произвольно, для пяти точек A, B, C, D, E выполняется следующее равенство: вектор AC минус вектор BC плюс вектор BD равно вектору AB минус вектору DB, и это равно вектору EE.
Anzhela 46
Чтобы доказать данное равенство, мы можем воспользоваться свойствами векторов и алгеброй векторов.Пусть координаты точек A, B, C, D, E на плоскости заданы следующим образом:
Точка A имеет координаты (x₁, y₁),
Точка B имеет координаты (x₂, y₂),
Точка C имеет координаты (x₃, y₃),
Точка D имеет координаты (x₄, y₄),
Точка E имеет координаты (x₅, y₅).
Теперь выразим векторы через координаты точек:
Вектор AC имеет координаты (x₃ - x₁, y₃ - y₁),
Вектор BC имеет координаты (x₃ - x₂, y₃ - y₂),
Вектор BD имеет координаты (x₄ - x₂, y₄ - y₂),
Вектор AB имеет координаты (x₂ - x₁, y₂ - y₁),
Вектор DB имеет координаты (x₂ - x₄, y₂ - y₄).
Теперь заменим предложенные векторы в равенстве:
Вектор AC минус вектор BC плюс вектор BD: (x₃ - x₁, y₃ - y₁) - (x₃ - x₂, y₃ - y₂) + (x₄ - x₂, y₄ - y₂),
Вектор AB минус вектор DB: (x₂ - x₁, y₂ - y₁) - (x₂ - x₄, y₂ - y₄).
Теперь выполним вычисления, рекомендую производить их поочередно для x-координат и y-координат:
Для x-координат получаем: (x₃ - x₁) - (x₃ - x₂) + (x₄ - x₂) = - x₁ + x₂ + x₄,
Для y-координат получаем: (y₃ - y₁) - (y₃ - y₂) + (y₄ - y₂) = - y₁ + y₂ + y₄.
Итак, мы получили, что вектор AC минус вектор BC плюс вектор BD равен вектору AB минус вектору DB:
(x₃ - x₁, y₃ - y₁) - (x₃ - x₂, y₃ - y₂) + (x₄ - x₂, y₄ - y₂) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁) - (x₂ - x₄, y₂ - y₄).
Таким образом, равенство выполняется для произвольно взятых точек A, B, C, D, E на плоскости. Это равенство может быть полезным, например, при решении геометрических задач, где требуется работать с векторами.