Необходимо доказать, что в параллелограмме DEKN выполняется равенство EF=ON

Ser_4251

28

Чтобы доказать, что в параллелограмме DEKN выполняется равенство EF = ON, нам понадобится использовать ряд свойств параллелограмма и определения его сторон и диагоналей.

Итак, давайте начнем с описания данных фигур и свойств параллелограмма. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.

Дано: параллелограмм DEKN.

1. Свойство параллелограмма: Противоположные стороны параллельны. Поэтому DN || EK и DE || NK.

Мы хотим доказать, что EF = ON.

Доказательство:

2. Найдем векторы ED, EF, EN и EK. Вектор ED - это вектор, направленный от точки E к точке D. Аналогично определяются векторы EF, EN и EK.

3. Из свойств векторов и свойств параллелограмма, мы знаем, что вектор ED равен вектору NK, и вектор EF равен вектору DN. То есть, ED = NK и EF = DN.

Обозначим эти равенства как (1) и (2).

4. Введем точку O на отрезке DN, так что EO является медианой треугольника EDN. По определению медианы, точка O делит DN пополам, то есть DO = ON.

Обозначим это равенство как (3).

5. Из свойства параллелограмма, мы знаем, что DE || NK. Поэтому треугольники DEN и NEK подобны.

6. Теперь мы можем использовать подобие треугольников DEN и NEK, чтобы найти соотношение длин сторон.

Отношение длин сторон в подобных треугольниках равно отношению длин их соответствующих сторон:

DN/EN = DE/EK.

Подставим значения DN = EF и EN = ON из уравнений (1) и (3):

EF/ON = DE/EK.

7. Для завершения доказательства, нам нужно показать, что DE = EK.

Рассмотрим параллелограмм DEKN. Поскольку его противоположные стороны параллельны, то его диагонали также делятся пополам.

Это означает, что EO является медианой треугольника EKN. Следовательно, OE = EK.

Отсюда следует, что DE = EK.

8. Теперь мы можем заменить DE на EK в соотношении EF/ON = DE/EK из пункта 6:

EF/ON = EK/EK.

Имеем EF = ON, следовательно, равенство EF = ON доказано.

Таким образом, мы доказали, что в параллелограмме DEKN выполняется равенство EF = ON, используя свойства параллелограмма, понятия векторов и подобие треугольников.