Необходимо доказать сходимость и вычислить сумму ряда ∑ 1/(n+5)(n+6

Chaynik

66

Хорошо, чтобы доказать сходимость и вычислить сумму ряда \(\sum \frac{1}{(n+5)(n+6)}\), воспользуемся методом частичных дробей.

Для начала, нам нужно разложить функцию \(\frac{1}{(n+5)(n+6)}\) на простейшие дроби. Для этого представим ее в виде \(\frac{A}{n+5} + \frac{B}{n+6}\), где \(A\) и \(B\) - некоторые числа, которые мы должны найти.

Теперь, чтобы найти значения \(A\) и \(B\), выполним следующие действия:

\[\frac{1}{(n+5)(n+6)} = \frac{A}{n+5} + \frac{B}{n+6}\]

Перемножим обе части на общий знаменатель \((n+5)(n+6)\):

\[1 = A(n+6) + B(n+5)\]

Раскроем скобки:

\[1 = (A+B)n + 6A + 5B\]

Теперь, так как это равенство справедливо для любого значения \(n\), то коэффициенты при одинаковых степенях \(n\) должны быть равны:

\[A + B = 0\]
\[6A + 5B = 1\]

Решим эту систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго:

\[6A + 5B - (A + B) = 1 - 0\]

Получим:

\[5A + 4B = 1\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases} A + B = 0 \\ 5A + 4B = 1 \end{cases}\]

Решим ее. Выразим \(A\) через \(B\) из первого уравнения:

\(A = -B\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\(5(-B) + 4B = 1\)

Упростим:

\(-B = 1\)

Отсюда получаем, что \(B = -1\)

Теперь подставим это значение обратно в первое уравнение:

\(A + (-1) = 0\)

Отсюда получаем, что \(A = 1\)

Итак, нам удалось найти значения \(A\) и \(B\): \(A = 1\) и \(B = -1\)

Теперь разложим исходный ряд:

\(\frac{1}{(n+5)(n+6)} = \frac{1}{n+5} - \frac{1}{n+6}\)

Теперь применим свойство телескопической суммы, то есть сократим все слагаемые, кроме первого и последнего:

\(\left(\frac{1}{1+5} - \frac{1}{1+6}\right) + \left(\frac{1}{2+5} - \frac{1}{2+6}\right) + \left(\frac{1}{3+5} - \frac{1}{3+6}\right) + \ldots\)

Теперь сгруппируем и упростим слагаемые:

\(\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{8} - \frac{1}{9}\right) + \ldots\)

Заметим, что большая часть слагаемых сокращается:

\(\frac{1}{6}-\frac{1}{7} + \frac{1}{7}-\frac{1}{8} + \frac{1}{8}-\frac{1}{9} + \ldots\)

Мы видим, что все числа сокращаются, оставляя только два слагаемых в начале и в конце:

\(\frac{1}{6}-\frac{1}{9}\)

Теперь вычислим:

\(\frac{1}{6}-\frac{1}{9} = \frac{3}{18}-\frac{2}{18} = \frac{1}{18}\)

Итак, полученная сумма ряда \(\sum \frac{1}{(n+5)(n+6)}\) равна \(\frac{1}{18}\).