Необходимо найти радиусы окружностей, которые касаются внешним образом сторон прямоугольного треугольника, катеты

Зарина

57

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Прямоугольный треугольник имеет два катета и гипотенузу. В данной задаче известно, что катеты имеют одинаковую длину.

2. Пусть длина каждого катета равна \(a\) (единицы измерения не указаны).

3. Рассмотрим одну сторону треугольника, перпендикулярную катету. На этой стороне находится внешняя окружность, касающаяся стороны прямоугольного треугольника.

4. Окружность касается стороны в единственной точке, и эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности.

5. Радиус окружности есть расстояние от центра окружности до основания перпендикуляра.

6. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\), где \(c\) - длина гипотенузы.

7. Из теоремы Пифагора следует, что длина гипотенузы равна \(\sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}\).

8. Расстояние от центра окружности до основания перпендикуляра равно половине длины гипотенузы, так как точка касания находится в середине этого отрезка.

9. Таким образом, радиус окружности равен половине длины гипотенузы: \(r = \frac{a}{2}\sqrt{2}\).

10. Поскольку в этой задаче оба катета имеют одинаковую длину, радиусы окружностей, касающихся внешним образом сторон прямоугольного треугольника, будут также равны \(\frac{a}{2}\sqrt{2}\).

Таким образом, радиусы этих окружностей равны \(\frac{a}{2}\sqrt{2}\), где \(a\) - длина катета прямоугольного треугольника.