Необходимо сегодня определить амплитуду смещения и период колебаний материальной точки, а также найти смещение

Ignat_54

10

Для начала рассмотрим данное выражение \(х=6,0\cos\pi(t+20)\). Из этого выражения мы можем определить амплитуду, период, а также смещение, скорость и ускорение точки в заданный момент времени.

1. Амплитуда:
Амплитуда колебаний определяет максимальное смещение точки от положения покоя. В данном случае амплитуда равна 6,0 см.

2. Период:
Период колебаний - это время, необходимое для совершения одного полного колебания. Для нахождения периода мы можем использовать формулу \(T=\frac{2\pi}{\omega}\), где \(T\) - период, \(\omega\) - угловая скорость. Угловая скорость определяется как \(\omega=\frac{2\pi}{T}\).

Здесь у нас задана функция в виде \(\cos\pi(t+20)\), и мы знаем, что период функции \(\cos\) равен \(2\pi\) (полный оборот окружности). Следовательно, период колебаний равен \(\frac{2\pi}{\pi}=2\) секунды.

3. Смещение, скорость и ускорение точки в заданный момент времени:
Для определения смещения точки, ее скорости и ускорения в заданный момент времени, мы должны подставить значение времени \(t\) в данное выражение.

Давайте возьмем, например, \(t = 0\) секунд. Подставляем это значение в выражение \(х=6,0\cos\pi(t+20)\):

\[х = 6,0\cos(0+20\pi) = 6,0\cos(20\pi)\]

Теперь мы можем использовать тригонометрические свойства, чтобы упростить это выражение.

Замечаем, что \(\cos(20\pi) = \cos(2\pi \cdot 10)\) и \(\cos(2\pi \cdot 10)\) равно 1, так как \(\cos\) имеет период \(2\pi\).

Следовательно, \(х = 6,0 \cdot 1 = 6,0\) см.

Теперь рассмотрим скорость и ускорение точки в момент времени \(t = 0\) секунд. Чтобы найти скорость и ускорение, нам необходимо продифференцировать функцию по времени.

Дифференцируем функцию \(\cos\pi(t+20)\) по \(t\):

\[\frac{d}{dt}(\cos\pi(t+20)) = -\pi\sin\pi(t+20)\]

Теперь подставим \(t = 0\) секунд:

\[\frac{d}{dt}(\cos\pi(0+20)) = -\pi\sin\pi(20) = 0\]

Мы видим, что скорость точки в момент времени \(t = 0\) секунд равна 0 см/с.

Для нахождения ускорения мы продифференцируем скорость по времени:

\[\frac{d}{dt}(-\pi\sin\pi(t+20)) = -\pi^2\cos\pi(t+20)\]

Подставим \(t = 0\) секунд:

\[\frac{d}{dt}(-\pi\sin\pi(0+20)) = -\pi^2\cos\pi(20) = -\pi^2\cos(20\pi)\]

Ускорение точки в момент времени \(t = 0\) секунд равно \(-\pi^2\cos(20\pi)\) см/с\(^2\).

Для остальных моментов времени можно проделать аналогичные действия, подставив нужные значения времени в выражение для смещения, скорости и ускорения.

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.