Неравенство, которое нужно решить: 13 – 5·3^x / (9^x – 12·3^x + 27) ≥ 0.5 (^-степень

Chudesnaya_Zvezda

2

Хорошо, давайте решим данное неравенство пошагово:

1. Сначала мы заметим, что в данном неравенстве есть переменная \(x\).

2. Начнем с того, чтобы упростить дробь в левой части неравенства.

Умножим 5 на 3^x и 12 на 3^x, получаем:
13 - (5·3^x) / (9^x - 12·3^x + 27) ≥ 0.5
13 - (15·3^x) / (9^x - 36·3^x + 27) ≥ 0.5

3. Теперь умножим обе части неравенства на знаменатель (9^x - 36·3^x + 27), чтобы избавиться от дроби:

(9^x - 36·3^x + 27)(13 - (15·3^x) / (9^x - 36·3^x + 27)) ≥ 0.5(9^x - 36·3^x + 27)

Упрощаем:

13(9^x - 36·3^x + 27) - 15·3^x ≥ 0.5(9^x - 36·3^x + 27)

117^x - 468·3^x + 351 - 45^x ≥ 4.5^x - 18·3^x + 13.5

4. Теперь мы можем собрать все слагаемые, содержащие 3^x, вместе:

(117^x - 45^x - 468·3^x + 18·3^x) + (351 - 13.5) ≥ 0

72^x - 450·3^x + 337.5 ≥ 0

5. Отсюда мы видим, что теперь у нас есть квадратное уравнение относительно 3^x:

72^x - 450·3^x + 337.5 = 0

6. Решим это квадратное уравнение. Здесь мы можем ввести замену, например, пусть \(y = 3^x\). Тогда у нас будет:

72y^2 - 450y + 337.5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно \(y\). Найдем его корни, используя дискриминант:

D = (-450)^2 - 4·72·337.5 = 202500 - 97200 = 105300

Корни квадратного уравнения:

y1 = (450 + √D) / (2·72) ≈ 15.26
y2 = (450 - √D) / (2·72) ≈ 0.61

7. Вернемся к нашей замене \(y = 3^x\) и решим два уравнения:

3^x = 15.26
3^x = 0.61

Решение первого уравнения будет примерно \(x_1 ≈ 2.72\), а решение второго уравнения будет примерно \(x_2 ≈ -1.83\).

8. После того, как мы нашли значения \(x_1\) и \(x_2\), мы можем построить интервальную диаграмму и узнать, в каких интервалах неравенство выполняется:

Для \(x < -1.83\) или \(x > 2.72\), неравенство выполняется.
Для \(-1.83 \leq x \leq 2.72\), неравенство не выполняется.

Итак, решение данного неравенства: \(x < -1.83\) или \(x > 2.72\).