Нужно подтвердить, что результат выражения 16^ n+1+2^n+4/15×2^n×(8^n+1) не меняется в зависимости от значений

Георгий_1906

59

Чтобы подтвердить, что результат выражения \(16^{n+1}+\frac{2^{n+4}}{15}\times2^n\times(8^{n+1})\) не меняется в зависимости от значений переменных, нам нужно доказать, что для любых значений \(n\) результат будет одинаковым.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим первое слагаемое \(16^{n+1}\):
Возведение числа 16 в степень \(n+1\) означает умножение числа 16 на само себя \(n+1\) раз. Таким образом, \[16^{n+1} = 16\times16\times...\times16\]
Из этого видно, что \(16^{n+1}\) не зависит от других переменных, так как мы используем только число 16 в степени \(n+1\).

2. Рассмотрим второе слагаемое \(\frac{2^{n+4}}{15}\times2^n\times(8^{n+1})\):
В начале упростим это выражение по частям:
\[\frac{2^{n+4}}{15}\times2^n\times(8^{n+1}) = \frac{2^{n+4}\times2^n\times8^{n+1}}{15}\]

Затем упростим числитель:
\[2^{n+4}\times2^n\times8^{n+1} = 2^{n+n+4}\times8^{n+1} = 2^{2n+4}\times2^{3(n+1)} = 2^{2n+4}\times8^{n+1}\]

Заметим, что \(8 = 2^3\), поэтому можем записать это выражение как:
\[2^{2n+4}\times8^{n+1} = 2^{2n+4}\times(2^3)^{n+1} = 2^{2n+4}\times2^{3(n+1)}\]

Теперь применим свойство степени: \(a^m\times a^n = a^{m+n}\), применив его получаем:
\[2^{2n+4}\times2^{3(n+1)} = 2^{2n+4+3(n+1)} = 2^{2n+4+3n+3} = 2^{5n+7}\]

Итак, мы получаем, что второе слагаемое равно \(2^{5n+7}\).

3. Теперь мы можем объединить результаты первого и второго слагаемых:
\(16^{n+1}+\frac{2^{n+4}}{15}\times2^n\times(8^{n+1}) = 16^{n+1} + 2^{5n+7}\)

Мы видим, что ни один из слагаемых не зависит от значения переменных, кроме \(n\).
Поэтому для любого значения \(n\) результат данного выражения будет одинаковым.

Таким образом, мы подтверждаем, что результат выражения \(16^{n+1}+\frac{2^{n+4}}{15}\times2^n\times(8^{n+1})\) не меняется в зависимости от значений переменных.