Які гострі кути прямокутного трикутника, якщо його катети мають довжину 7,5√3 та 7,5​?

Пламенный_Демон

62

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам (это прямой угол), и два оставшихся угла являются острыми углами.

Дано, что катеты треугольника имеют длину \(7.5\sqrt{3}\) и 7.5. Чтобы найти острые углы треугольника, мы можем использовать теорему косинусов.

Теорема косинусов гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Математически это можно записать как:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

В нашем случае, катеты треугольника имеют длины 7.5√3 и 7.5. Мы можем подставить эти значения в формулу и решить уравнение относительно гипотенузы:

\[c^2 = (7.5\sqrt{3})^2 + 7.5^2\]
\[c^2 = (56.25 \cdot 3) + 56.25\]
\[c^2 = 168.75 + 56.25\]
\[c^2 = 225\]
\[c = \sqrt{225}\]
\[c = 15\]

Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна 15. Теперь, чтобы найти острые углы треугольника, мы можем использовать формулу тангенса:

\[\tan(\theta) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}\]

Где \(\theta\) - один из острых углов треугольника.

Давайте найдем тангенс первого острого угла треугольника. В нашем случае, противолежащий катет имеет длину \(7.5\sqrt{3}\), а прилежащий катет имеет длину 7.5. Подставляя эти значения в формулу:

\[\tan(\theta_1) = \frac{{7.5\sqrt{3}}}{{7.5}}\]
\[\tan(\theta_1) = \sqrt{3}\]

Теперь найдем тангенс второго острого угла треугольника. В нашем случае, противолежащий катет имеет длину 7.5, а прилежащий катет имеет длину \(7.5\sqrt{3}\). Подставляя эти значения в формулу:

\[\tan(\theta_2) = \frac{{7.5}}{{7.5\sqrt{3}}}\]
\[\tan(\theta_2) = \frac{1}{{\sqrt{3}}}\]

Исходя из полученных значений тангенсов, мы можем найти значения острых углов, используя таблицу значений тангенсов или калькулятор. Округлим результаты до двух десятичных знаков:

\(\theta_1 \approx 60^\circ\) (так как \(\tan(\theta_1) = \sqrt{3}\) приближенно равно 1.73, что соответствует углу приближенно 60 градусов)
\(\theta_2 \approx 30^\circ\) (так как \(\tan(\theta_2) = \frac{1}{{\sqrt{3}}}\) приближенно равно 0.58, что соответствует углу приближенно 30 градусов)

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника с катетами длиной \(7.5\sqrt{3}\) и 7.5 приближенно равны 60 градусов и 30 градусов соответственно.