Оцените, используя закон сохранения энергии, какую энергию должен иметь электрон, чтобы излучать гамма-кванты

Арбуз_9253

43

Для решения задачи оценим энергию, которую должен иметь электрон, чтобы излучать гамма-кванты с энергией 2 ГэВ, используя закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии гласит, что энергия в системе остается постоянной. В данном случае, энергия изначально находится в электроне, а затем переводится в энергию гамма-квантов.

Энергия покоя электрона выражается формулой \(E = mc^2\), где \(m\) - масса электрона, \(c\) - скорость света.

Вычислим массу электрона. Масса электрона \(m = 9.11 \times 10^{-31}\) кг.

Зная массу электрона, можем найти его энергию покоя:
\[E = (9.11 \times 10^{-31} \, \text{кг}) \times (3 \times 10^8 \, \text{м/с})^2 = 8.19 \times 10^{-14} \, \text{Дж}\]

Теперь рассмотрим энергию гамма-квантов с энергией \(2 \, \text{ГэВ} = 2 \times 10^9 \, \text{эВ}\). Чтобы найти энергию гамма-квантов, используем формулу Планка
\[E = hf\]
где \(h\) - постоянная Планка, \(f\) - частота.

Так как гамма-кванты имеют высокую энергию, рассчитаем их частоту, используя формулу
\[E = hf = \frac{hc}{\lambda}\]
где \(c\) - скорость света, \(\lambda\) - длина волны гамма-квантов.

Для гамма-квантов со скоростью света получим:
\[E = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}{\lambda}\]
\[2 \times 10^9 \, \text{эВ} = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}{\lambda}\]

Отсюда можно найти длину волны гамма-квантов:
\[\lambda = \frac{(6.63 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \times 10^8 \, \text{м/с})}{2 \times 10^9 \, \text{эВ}}\]

Длина волны гамма-квантов составляет около \(1.99 \times 10^{-12}\) м.

Теперь используем закон сохранения энергии, чтобы найти энергию, которую должен иметь электрон, чтобы излучить гамма-кванты с энергией \(E_y = 2 \, \text{ГэВ}\).

Исходя из закона сохранения энергии, энергия электрона до излучения гамма-квантов будет равна сумме энергии покоя электрона и энергии гамма-квантов:
\[E_{\text{исходная}} = E_{\text{покоя}} + E_y\]

Подставляем значения:
\[E_{\text{исходная}} = 8.19 \times 10^{-14} \, \text{Дж} + 2 \times 10^9 \, \text{эВ}\]

Чтобы получить энергию в одних и тех же единицах, преобразуем энергию гамма-квантов из эВ в джоули:
\[1 \, \text{эВ} = 1.6 \times 10^{-19} \, \text{Дж}\]
\[E_{\text{исходная}} = 8.19 \times 10^{-14} \, \text{Дж} + (2 \times 10^9 \, \text{эВ}) \times (1.6 \times 10^{-19} \, \text{Дж/эВ})\]

После подстановки и упрощения получим:
\[E_{\text{исходная}} \approx 1.30 \times 10^{-5} \, \text{Дж}\]

Таким образом, чтобы электрон излучал гамма-кванты с энергией \(2 \, \text{ГэВ}\), его нужно наделить энергией примерно \(1.30 \times 10^{-5} \, \text{Дж}\).

Для вычисления отличия энергии, вычтем энергию покоя электрона из исходной энергии:
\[\Delta E = E_{\text{исходная}} - E_{\text{покоя}}\]
\[\Delta E = 1.30 \times 10^{-5} \, \text{Дж} - 8.19 \times 10^{-14} \, \text{Дж}\]
\[\Delta E \approx 1.29 \times 10^{-5} \, \text{Дж}\]

Таким образом, энергия излучения гамма-квантов отличается от энергии покоя электрона примерно на \(1.29 \times 10^{-5} \, \text{Дж}\).