Один угол прямоугольного треугольника вдвое меньше другого, а разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет

Skolzkiy_Baron_9976

16

Дано:

Пусть один из углов прямоугольного треугольника равен \(x\) градусов, тогда другой угол будет равен \(2x\) градусов.

Разница между гипотенузой и меньшим катетом равна 15 см.

Шаг 1: Найдем значения углов:

Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то у нас есть уравнение:

\[x + 2x + 90 = 180\]

\[3x + 90 = 180\]

\[3x = 90\]

\[x = 30\]

Таким образом, один угол равен 30 градусов, а другой равен 60 градусов.

Шаг 2: Найдем значения гипотенузы и меньшего катета:

Обозначим меньший катет за \(a\), тогда гипотенузу обозначим за \(b\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Подставляем данные:

\[a^2 + b^2 = (2a)^2\]

\[a^2 + b^2 = 4a^2\]

\[3a^2 = b^2\]

Так как разница между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см, то:

\[b - a = 15\]

Шаг 3: Решение системы уравнений:

Подставляем \(3a^2\) вместо \(b^2\) в уравнение \(b - a = 15\):

\[3a - a = 15\]

\[2a = 15\]

\[a = 7.5\]

Таким образом, меньший катет равен 7.5 см.

Подставляем \(a = 7.5\) в \(3a^2 = b^2\):

\[3 \cdot 7.5^2 = b^2\]

\[3 \cdot 56.25 = b^2\]

\[b^2 = 168.75\]

\[b ≈ 12.997\]

Итак, гипотенуза примерно равна 13 см.

Значения гипотенузы и меньшего катета соответственно приближенно равны 13 см и 7.5 см.