Одна из двух окружностей проходит через центр другой окружности. Найдите длину общей хорды, если известен радиус

Магнитный_Зомби

56

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть у нас есть две окружности, одна из которых проходит через центр другой окружности. Пусть радиус первой окружности (которая проходит через центр второй окружности) равен \(R\).

Для начала, давайте вспомним, что хорда - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. В нашем случае, общая хорда будет соединять две точки на первой и второй окружностях.

Рассмотрим радиусы, проведенные от центра второй окружности до точек пересечения с общей хордой. Пусть эти радиусы равны \(r_1\) и \(r_2\).

Так как окружность, проходящая через центр другой окружности, является диаметром, то радиус первой окружности \(R\) будет равен сумме радиусов \(r_1\) и \(r_2\). Математически это можно записать как:

\[R = r_1 + r_2\]

Теперь, для того чтобы найти длину общей хорды, нам понадобится знать расстояние между точками пересечения. Давайте обозначим это расстояние как \(d\).

Так как \(r_1\) и \(r_2\) - это радиусы двух окружностей, а \(R\) - это радиус первой окружности, то мы можем записать следующее:

\[r_1 = R - r_2\]

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного хордой, \(r_1\) и \(d\), мы получим уравнение:

\[(R-r_2)^2 = r_1^2 + d^2\]

Раскрыв скобки, получим:

\[R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 = r_1^2 + d^2\]

Теперь передвинем все неизвестные влево и все известные вправо, чтобы изолировать \(d\):

\[d^2 = R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 - r_1^2\]

Заменим \(r_1\) на \(R-r_2\), чтобы получить выражение только с использованием \(R\) и \(r_2\):

\[d^2 = R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 - (R - r_2)^2\]

Раскроем квадрат \(R-r_2\):

\[d^2 = R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 - (R^2 - 2Rr_2 + r_2^2)\]

Упростим:

\[d^2 = R^2 - 2Rr_2 + r_2^2 - R^2 + 2Rr_2 - r_2^2\]

Многие члены упрощаются:

\[d^2 = 2Rr_2 - 2Rr_2\]

В итоге, получаем:

\[d^2 = 0\]

Из этого следует, что \(d = 0\). То есть, расстояние между точками пересечения равно нулю.

Это означает, что точки пересечения находятся рядом друг с другом, и общая хорда является точкой, а не отрезком.

Таким образом, длина общей хорды равна нулю, если одна из двух окружностей проходит через центр другой окружности.