Опишите функцию у=12х^2+2х^3, заполнив пробелы. Функция возрастает, когда значение производной f′(x) больше __ при

Кобра

14

Функция \( y = 12x^2 + 2x^3 \) описывает математическую зависимость между переменными y и x. Для понимания, как эта функция поведет себя на интервале \((-∞, ∞)\), нам понадобится рассмотреть ее производную \( f"(x) \), которая позволяет определить, когда функция возрастает или убывает.

Чтобы найти производную функции \( y \) по переменной \( x \), мы применяем правила дифференцирования. Рассмотрим каждый член функции по отдельности:

- Для члена \( 12x^2 \) возьмем производную, используя правило степенной функции. Правило гласит, что производная степенной функции равна степени, умноженной на коэффициент перед ней. Поэтому производная этого члена равна \( 2 \cdot 12x^{2-1} = 24x \).

- Для члена \( 2x^3 \) также применим правило степенной функции. Производная будет равна \( 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2 \).

Теперь нам нужно рассмотреть, когда производная функции \( f"(x) \) будет положительной, то есть, когда функция возрастает. Обратите внимание, что функция возрастает, когда ее производная положительна.

Исходя из полученных результатов, функция возрастает, когда значение производной \( f"(x) \) больше нуля.

Таким образом, при решении задачи мы заполним пробелы следующим образом:

Функция возрастает, когда значение производной \( f"(x) \) больше нуля при \( x \) из интервала \((-∞, -4/3)\) и отрезка \([0, +∞)\).