Опишите окружность вокруг равнобедренной трапеции. Если одно из оснований трапеции равно 16, а боковая сторона равна

Antonovich

54

Чтобы найти второе основание трапеции, нам понадобится использовать свойство равнобедренной трапеции, которое гласит, что диагонали равнобедренной трапеции равны и перпендикулярны. Так как одно из оснований трапеции равно 16, то диагонали также равны 16. Обозначим второе основание трапеции как \(x\).

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты трапеции, так как у нас уже известны длины оснований и диагонали. Если мы обозначим высоту как \(h\), то мы можем записать уравнение в следующем виде:
\[h^2 + \left(\frac{x - 16}{2}\right)^2 = 12^2\]

Для нахождения результата поделенного на корень из 2, мы упростим это уравнение:
\[h^2 + \frac{(x - 16)^2}{4} = 144\]
\[4h^2 + (x - 16)^2 = 576\]

Теперь найдем площадь круга, который вписан в эту трапецию. Площадь вписанного круга можно выразить через радиус \(r\) следующим образом: \(S = \pi r^2\). Радиус вписанного круга равен половине суммы оснований трапеции.

Мы можем выразить площадь круга через высоту и половину суммы оснований следующим образом:
\[S = \pi \left(\frac{x + 16}{2}\right)^2\]

Теперь предоставим решение:

1) Для нахождения второго основания трапеции, мы решаем уравнение по \(x\):
\[4h^2 + (x - 16)^2 = 576\]
Подставляем значение известной боковой стороны, \(h = 12\), и решаем уравнение:
\[4 \cdot 12^2 + (x - 16)^2 = 576\]

Подсчитываем:
\[576 + (x - 16)^2 = 576\]
\[(x - 16)^2 = 0\]

Из этого уравнения получаем, что \((x - 16) = 0\), и следовательно, \(x = 16\).
Второе основание трапеции равно 16.

2) Теперь, чтобы найти высоту трапеции, мы можем использовать уравнение:
\[h^2 + \frac{(x - 16)^2}{4} = 144\]
Подставляем значение \(x = 16\) и решаем уравнение:
\[h^2 + \frac{(16 - 16)^2}{4} = 144\]
\[h^2 + \frac{0}{4} = 144\]
\[h^2 = 144\]

Из этого уравнения получаем, что \(h = 12\).
Высота трапеции равна 12.

3) Найдем площадь круга, который вписан в эту трапецию, используя формулу:
\[S = \pi \left(\frac{x + 16}{2}\right)^2\]
Подставляем значение \(x = 16\) и решаем уравнение:
\[S = \pi \left(\frac{16 + 16}{2}\right)^2\]
\[S = \pi \left(\frac{32}{2}\right)^2\]
\[S = \pi \cdot 16^2\]
\[S = \pi \cdot 256\]

Итак, площадь круга, который вписан в эту трапецию, равна \(256\pi\) (\(S = 256\pi\)).