Определить, какая связь существует между диэлектрическими постоянными двух сред, если в одной среде шарики электроскопа

Sharik

53

Для начала, давайте определимся с понятием диэлектрической постоянной. Диэлектрическая постоянная (обозначается как $\epsilon$) - это физическая величина, которая характеризует способность среды удерживать электрический заряд. Она определяет, насколько сильно электрическое поле воздействует на заряды в данной среде.

Когда мы рассматриваем отклонение шариков электроскопа под воздействием заряда, это означает, что мы имеем дело с электрическим полем.

В данном случае у нас есть две различные среды, и шарики электроскопа отклоняются на разные углы. Мы хотим найти связь между диэлектрическими постоянными этих двух сред.

Для этого, воспользуемся законом Кулона, который гласит:

$$F={\displaystyle \frac{k\cdot q_1\cdot q_2}{r^2}}$$

где $F$ - электрическая сила взаимодействия между двумя зарядами,
$k$ - электростатическая постоянная,
$q_1$ и $q_2$ - величины зарядов, и
$r$ - расстояние между зарядами.

Зная, что сила пропорциональна отклонению шариков электроскопа, можем записать следующее:

$$F\propto \theta$$

где $\theta$ - угол отклонения шариков электроскопа.

Теперь рассмотрим случай, когда шарики отклоняются на угол 60°. В этом случае, сила взаимодействия для этой среды будет обозначаться как $F_1$.

$$F_1\propto 60°$$

Аналогично, для случая с отклонением на угол 90°, сила взаимодействия для второй среды будет обозначаться как $F_2$.

$$F_2\propto 90°$$

Теперь мы можем сказать, что связь между диэлектрическими постоянными этих двух сред будет следующей:

$${\displaystyle \frac{F_1}{F_2}}={\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}$$

Однако, нам нужно выразить соотношение между углами, поэтому воспользуемся геометрией.

Если рассмотреть треугольник, образованный при отклонении шариков электроскопа, можно заметить, что он является прямоугольным, так как разность углов отклонения равна 90° (угол 90° из условия - угол 60° от отклонения).

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник, у которого один из углов 60°, что указывает на то, что у нас имеется 30° - 60° - 90° треугольник.

В таком треугольнике соотношение сторон равно:

$${\displaystyle \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

Теперь, возвращаясь к нашей формуле, мы можем записать следующее:

$${\displaystyle \frac{F_1}{F_2}}={\displaystyle \frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}}={\displaystyle \frac{\text{противоположная сторона для первой среды}}{\text{противоположная сторона для второй среды}}}={\displaystyle \frac{1/\sqrt{3}}{1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$

Теперь мы можем получить связь между диэлектрическими постоянными:

$${\epsilon }_1={\displaystyle \frac{{\epsilon }_2}{\sqrt{3}}}$$

Чтобы найти значение двукратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$${\epsilon }_1^2={\displaystyle \frac{{\epsilon }_2^2}{3}}$$

Умножим обе части на 3:

$$3\cdot {\epsilon }_1^2={\epsilon }_2^2$$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

$$\sqrt{3\cdot {\epsilon }_1^2}=\sqrt{{\epsilon }_2^2}$$

Упростим:

$$\sqrt{3}\cdot {\epsilon }_1={\epsilon }_2$$

Таким образом, мы получаем, что связь между диэлектрическими постоянными будет равна:

$${\epsilon }_2=\sqrt{3}\cdot {\epsilon }_1$$

Итак, ответом является двукратный корень:

$$\sqrt{3}\cdot {\epsilon }_1$$