Определить, какая связь существует между диэлектрическими постоянными двух сред, если в одной среде шарики электроскопа

Sharik

53

Для начала, давайте определимся с понятием диэлектрической постоянной. Диэлектрическая постоянная (обозначается как \( \varepsilon \)) - это физическая величина, которая характеризует способность среды удерживать электрический заряд. Она определяет, насколько сильно электрическое поле воздействует на заряды в данной среде.

Когда мы рассматриваем отклонение шариков электроскопа под воздействием заряда, это означает, что мы имеем дело с электрическим полем.

В данном случае у нас есть две различные среды, и шарики электроскопа отклоняются на разные углы. Мы хотим найти связь между диэлектрическими постоянными этих двух сред.

Для этого, воспользуемся законом Кулона, который гласит:

\[ F = \dfrac{{k \cdot q_1 \cdot q_2}}{{r^2}} \]

где \( F \) - электрическая сила взаимодействия между двумя зарядами,
\( k \) - электростатическая постоянная,
\( q_1 \) и \( q_2 \) - величины зарядов, и
\( r \) - расстояние между зарядами.

Зная, что сила пропорциональна отклонению шариков электроскопа, можем записать следующее:

\[ F \propto \theta \]

где \( \theta \) - угол отклонения шариков электроскопа.

Теперь рассмотрим случай, когда шарики отклоняются на угол 60°. В этом случае, сила взаимодействия для этой среды будет обозначаться как \( F_1 \).

\[ F_1 \propto 60° \]

Аналогично, для случая с отклонением на угол 90°, сила взаимодействия для второй среды будет обозначаться как \( F_2 \).

\[ F_2 \propto 90° \]

Теперь мы можем сказать, что связь между диэлектрическими постоянными этих двух сред будет следующей:

\[ \dfrac{{F_1}}{{F_2}} = \dfrac{{\varepsilon_1}}{{\varepsilon_2}} \]

Однако, нам нужно выразить соотношение между углами, поэтому воспользуемся геометрией.

Если рассмотреть треугольник, образованный при отклонении шариков электроскопа, можно заметить, что он является прямоугольным, так как разность углов отклонения равна 90° (угол 90° из условия - угол 60° от отклонения).

Таким образом, у нас имеется прямоугольный треугольник, у которого один из углов 60°, что указывает на то, что у нас имеется 30° - 60° - 90° треугольник.

В таком треугольнике соотношение сторон равно:

\[ \dfrac{{\text{противоположная сторона}}}{{\text{гипотенуза}}} = \dfrac{{1}}{{\sqrt{3}}} \]

Теперь, возвращаясь к нашей формуле, мы можем записать следующее:

\[ \dfrac{{F_1}}{{F_2}} = \dfrac{{\varepsilon_1}}{{\varepsilon_2}} = \dfrac{{\text{противоположная сторона для первой среды}}}{{\text{противоположная сторона для второй среды}}} = \dfrac{{1/\sqrt{3}}}{{1}} = \dfrac{{1}}{{\sqrt{3}}} \]

Теперь мы можем получить связь между диэлектрическими постоянными:

\[ \varepsilon_1 = \dfrac{{\varepsilon_2}}{{\sqrt{3}}} \]

Чтобы найти значение двукратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

\[ \varepsilon_1^2 = \dfrac{{\varepsilon_2^2}}{{3}} \]

Умножим обе части на 3:

\[ 3 \cdot \varepsilon_1^2 = \varepsilon_2^2 \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[ \sqrt{3 \cdot \varepsilon_1^2} = \sqrt{\varepsilon_2^2} \]

Упростим:

\[ \sqrt{3} \cdot \varepsilon_1 = \varepsilon_2 \]

Таким образом, мы получаем, что связь между диэлектрическими постоянными будет равна:

\[ \varepsilon_2 = \sqrt{3} \cdot \varepsilon_1 \]

Итак, ответом является двукратный корень:

\[ \sqrt{3} \cdot \varepsilon_1 \]