Определить угол между векторами, которые находятся внутри куба

Dmitrievna

52

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Пусть у нас есть куб с вершинами A, B, C, D, E, F, G и H. Предположим, что нашими векторами являются \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\).

Шаг 1: Найдем координаты точек A, B и C в трехмерном пространстве. Предположим, что A имеет координаты (x1, y1, z1), B имеет координаты (x2, y2, z2) и C имеет координаты (x3, y3, z3).

Шаг 2: Теперь мы можем найти векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B:
\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x2 - x1 \\ y2 - y1 \\ z2 - z1 \end{pmatrix}
\]
Аналогично, вектор \(\overrightarrow{AC}\) можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки C:
\[
\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} x3 - x1 \\ y3 - y1 \\ z3 - z1 \end{pmatrix}
\]

Шаг 3: Теперь нам нужно найти скалярное произведение этих двух векторов. Для этого умножим соответствующие компоненты векторов и сложим полученные произведения:
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1)
\]

Шаг 4: После вычисления скалярного произведения мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:
\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}
\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\|\overrightarrow{AB}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{AB}\), а \(\|\overrightarrow{AC}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{AC}\).

Шаг 5: Для того чтобы найти значение угла \(\theta\), возьмем обратный косинус от полученного значения и округлим его до удобного для понимания школьником значения:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}\right)
\]

Таким образом, мы находим угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) внутри куба.

Я надеюсь, что это объяснение понятно и поможет вам решить вашу задачу.