Определите, какие утверждения являются верными. Выберите все возможные варианты ответа. 1) Вершины параболы f(x) = −x^2
Определите, какие утверждения являются верными. Выберите все возможные варианты ответа. 1) Вершины параболы f(x) = −x^2 + 2ax − a^2 + a + 1 образуют параболу при любом действительном значении a. 2) Если функция f(x) = x^2 + px + q принимает только неотрицательные значения, то наименьшее значение выражения p + q равно -1. 3) Вершины параболы f(x) = x^2 − 2ax + 2a^2 + 1 лежат на одной прямой при любом действительном значении a. 4) Если p и q - некоторые числа, и 2p − q = 4, то все параболы вида y = x^2 + px + q проходят через одну точку.
Игнат 26
Решение:1) Вершины параболы f(x) = −x^2 + 2ax − a^2 + a + 1 образуют параболу при любом действительном значении a.
Да, это утверждение верно. Для большинства квадратичных функций вида f(x) = ax^2 + bx + c вершина параболы будет зависеть от значений коэффициентов a, b и c. В данном случае, вершина параболы определяется значением a, и она будет существовать независимо от выбранного значения a.
2) Если функция f(x) = x^2 + px + q принимает только неотрицательные значения, то наименьшее значение выражения p + q равно -1.
Данное утверждение не является верным. По определению параболы, её график будет иметь направление ветвей вверх, что означает, что она будет положительной или равной нулю на всей области определения. Следовательно, для того чтобы функция f(x) = x^2 + px + q принимала только неотрицательные значения, дискриминант этой функции (D = p^2 - 4q) должен быть меньше или равен нулю. Но эта информация не позволяет нам найти конкретное значение p + q.
3) Вершины параболы f(x) = x^2 − 2ax + 2a^2 + 1 лежат на одной прямой при любом действительном значении a.
Данное утверждение также является верным. Если мы изменим значение параметра a в функции f(x) = x^2 - 2ax + 2a^2 + 1, вершина параболы также будет изменять свое положение, но все эти вершины будут лежать на одной прямой. Таким образом, при любом действительном значении a вершины параболы будут находиться на одной прямой.
4) Если p и q - некоторые числа, и 2p − q = 4, то все параболы вида y = x^2 + px + q проходят через одну точку.
Да, это утверждение верно. Из уравнения 2p − q = 4 можно найти значение q, равное 2p - 4. Подставив это значение в уравнение параболы y = x^2 + px + q, получим y = x^2 + px + 2p - 4. Выразив y через x, получим y = (x + p)^2 - p^2 + 2p - 4. Очевидно, что вершина такой параболы будет совпадать с точкой (-p, -p^2 + 2p - 4), которая не зависит от выбранного значения p и q. Таким образом, все параболы данного вида будут проходить через одну и ту же точку.
В ответе выберем утверждения 1) и 3) как верные.