Определите, какой тип угла (острый, прямой, тупой) образуется между векторами а{3; -1; 1} и b{-5

Ledyanaya_Magiya

11

Для определения типа угла, образованного между двумя векторами, нам понадобится использовать скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Где \( a \) и \( b \) - это векторы, \( |a| \) и \( |b| \) - это их длины, а \( \theta \) - это угол между ними. Если скалярное произведение положительное, то угол между векторами острый; если ноль, то прямой; и если отрицательное, то тупой.

Давайте применим эту формулу к нашим векторам:

\[ a = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \]

Сначала найдем длины векторов:

\[ |a| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{11} \approx 3.32 \]
\[ |b| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{45} \approx 6.71 \]

Теперь посчитаем скалярное произведение векторов:

\[ a \cdot b = (3) \cdot (-5) + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 4 = -15 - 2 + 4 = -13 \]

Используя формулу для скалярного произведения, мы можем найти угол между векторами:

\[ -13 = \sqrt{11} \cdot \sqrt{45} \cdot \cos(\theta) \]

Для нахождения косинуса угла, мы разделим обе стороны на произведение длин векторов:

\[ \cos(\theta) = \frac{-13}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{45}} \approx -0.686 \]

Теперь, чтобы узнать тип угла, найдем арккосинус этого значения:

\[ \theta \approx \arccos(-0.686) \approx 133.78^\circ \]

Так как арккосинус отрицательного значения находится в третьем и четвертом квадрантах, угол между векторами будет тупым.

Таким образом, тип угла, образованного между векторами \( a \) и \( b \), является тупым.