Определите количество корней уравнения x^3 + 12x^2 - 27x - b = 0 при различных значениях параметра b. Ответ (если

Koko

36

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему о кратности корней. По данному уравнению, мы видим, что степень многочлена равна 3, что говорит о том, что у нас может быть от 0 до 3 корней.

Для начала, мы можем привести уравнение к стандартной форме с нулевым правым членом. Для этого, нам нужно заменить переменную \(x\) на \(x - \frac{4}{3}\). Подставим это в наше уравнение:

\[
(x - \frac{4}{3})^3 + 12(x - \frac{4}{3})^2 - 27(x - \frac{4}{3}) - b = 0
\]

Упрощаем это выражение:

\[
x^3 - \frac{4}{3}x^2 - 16x + \frac{64}{3} + 12x^2 - 32x + \frac{128}{3} - 27x + \frac{36}{3} - b = 0
\]

Объединяем подобные слагаемые:

\[
x^3 + (12 - \frac{4}{3})x^2 + (-16 - 32 - 27)x + (\frac{64}{3} + \frac{128}{3} + \frac{36}{3} - b) = 0
\]

Итак, мы получили уравнение вида:

\[
x^3 + \frac{32}{3}x^2 - 75x + \frac{232}{3} - b = 0
\]

Теперь, чтобы определить количество корней в зависимости от значения параметра \(b\), нам нужно проанализировать дискриминант этого уравнения. Дискриминант определяется следующим образом:

\[
D = (3ac - b^2) - 4b^3 - 4a^3c + 18abc - 27a^2d
\]

Где в нашем случае \(a = \frac{32}{3}\), \(b = -75\) и \(c = \frac{232}{3} - b\).

Подставляем значения в формулу и упрощаем:

\[
D = (3 \cdot \frac{32}{3} \cdot (\frac{232}{3} - b)) - 4 \cdot (-75)^2 - 4 \cdot (\frac{32}{3})^3 \cdot (\frac{232}{3} - b) + 18 \cdot \frac{32}{3} \cdot (-75) \cdot (\frac{232}{3} - b) - 27 \cdot (\frac{32}{3})^2 \cdot (\frac{232}{3} - b)
\]

\[
D = (32 \cdot (\frac{232}{3} - b)) + 4 \cdot 5625 - 4 \cdot (\frac{32}{3})^3 \cdot (\frac{232}{3} - b) - 18 \cdot 32 \cdot (\frac{232}{3} - b) - 27 \cdot (\frac{32}{3})^2 \cdot (\frac{232}{3} - b)
\]

\[
D = 928 - 32b + 22500 - \frac{32768}{81} \cdot (232 - 3b) - 1152 \cdot (232 - 3b) - \frac{82944}{9} \cdot (232 - 3b)
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b - \frac{2048}{81} + \frac{34560}{81} - \frac{232 \cdot 32768}{81} + \frac{9 \cdot 1152 \cdot 3b}{81} - \frac{3 \cdot 1152 \cdot b \cdot 232}{9} + \frac{82944 \cdot 232}{9} - \frac{82944 \cdot 3b}{9}
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b - \frac{320}{9} + \frac{400}{9} - \frac{232 \cdot 32768}{81} + 3456b - 1152b \cdot 232 + \frac{82944 \cdot 232}{9} - 27648b
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b - \frac{320}{9} + \frac{800}{9} - \frac{75264}{9} + 3456b - 267264b + \frac{1926144}{9} - 27648b
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b + \frac{2240}{9} - \frac{350208}{9} + 2672b + \frac{1926144}{9} - 27648b
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b - \frac{347072}{9} + 4136b + \frac{1926144}{9}
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b + \frac{4064}{9}b - \frac{337216}{9} + \frac{1926144}{9}
\]

\[
D = - \frac{1126}{81}b + \frac{4064}{9}b - \frac{337216}{9} + \frac{1926144}{9}
\]

\[
D = - \frac{380}{81}b - \frac{409472}{9} + \frac{1926144}{9}
\]

Теперь мы можем анализировать значения параметра \(b\) и количество корней.

1) Если \(D > 0\) и уравнение имеет три корня.
2) Если \(D = 0\) и уравнение имеет два корня.
3) Если \(D < 0\) и уравнение имеет один корень.

Таким образом, давайте рассмотрим каждый случай:

1) Если \(D > 0\), то уравнение имеет три различных корня.
Наша задача не дает нам конкретного набора значений для параметра \(b\), поэтому в этом случае мы можем сказать, что уравнение имеет три корня при любом значении \(b\) за исключением случаев, когда \(b\) находится вне диапазона, где \(D > 0\).

2) Если \(D = 0\), то уравнение имеет два корня.
Подставим \(D = 0\) в выражение для \(D\) и решим уравнение:

\[
- \frac{380}{81}b - \frac{409472}{9} + \frac{1926144}{9} = 0
\]

\[
-380b - 4559088 + 21777664 = 0
\]

\[
-380b + 17218576 = 0
\]

\[
b = \frac{17218576}{380}
\]

Таким образом, уравнение имеет два корня, когда \(b = \frac{17218576}{380}\).

3) Если \(D < 0\), то уравнение имеет один корень.
Аналогично, заменим \(D = 0\) в выражение для \(D\):

\[
- \frac{380}{81}b - \frac{409472}{9} + \frac{1926144}{9} < 0
\]

\[
- \frac{380}{81}b - \frac{409472}{9} + \frac{1926144}{9} < 0
\]

\[
- \frac{380}{81}b - \frac{191328}{9} < 0
\]

\[
- \frac{380}{81}b < \frac{191328}{9}
\]

\[
b > - \frac{380 \cdot 9}{81}
\]

\[
b > - 42.222
\]

Таким образом, уравнение имеет один корень, когда \(b\) больше, чем -42.222.

Итак, окончательный ответ:
- Если \(b\) находится в интервале \((- \infty, -42.222)\), уравнение имеет один корень.
- Если \(b = \frac{17218576}{380}\), уравнение имеет два корня.
- Если \(b\) находится в интервале \((-42.222, +\infty)\), уравнение имеет три корня.