Определите косинус угла в треугольнике M(2; -3), N(-4; 6), K(5

Крошка

14

Чтобы найти косинус угла в треугольнике, мы можем воспользоваться формулой косинусов. Формула косинусов гласит:

\[\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

Где \(\theta\) - измеренный в радианах угол между сторонами треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Для нашего треугольника MNP стороны можно найти с помощью формулы расстояния между точками на плоскости. Формула расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Теперь применим эту формулу для нахождения длин сторон треугольника MNP.

Сторона MN соединяет точки M(2,-3) и N(-4,6). Подставляя координаты в формулу расстояния, получаем:

\[MN = \sqrt{((-4) - 2)^2 + (6 - (-3))^2}\]

\[MN = \sqrt{(-6)^2 + (9)^2}\]

\[MN = \sqrt{36 + 81}\]

\[MN = \sqrt{117}\]

Аналогичным образом находим длины сторон NP и MP.

\[NP = \sqrt{((-4) - 5)^2 + (6 - (-3))^2}\]

\[MP = \sqrt{(2 - 5)^2 + (-3 - 6)^2}\]

Подставив эти значения в формулу косинусов, найдем косинус угла:

\[\cos(\theta) = \frac{MN^2 + NP^2 - MP^2}{2 \times MN \times NP}\]

\[\cos(\theta) = \frac{(\sqrt{117})^2 + (\sqrt{117})^2 - (\sqrt{117})^2}{2 \times \sqrt{117} \times \sqrt{117}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{117 + 117 - 117}{2 \times \sqrt{117} \times \sqrt{117}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{117}{234}\]

\[\cos(\theta) = \frac{1}{2}\]

Таким образом, косинус угла треугольника MNP равен \(\frac{1}{2}\).