Определите, принадлежит ли число B данной последовательности (yn). Если принадлежит, то укажите номер соответствующего

Vechnaya_Zima

20

Давайте посмотрим на решение этой задачи.

Нам дано уравнение для члена последовательности \(y_n = (4 - \sqrt{3})^{5n-8}\) и число \(B = 256\). Наша задача - определить, принадлежит ли число \(B\) данной последовательности, и если да, то найти номер этого члена последовательности.

Для начала, давайте подставим \(B = 256\) в уравнение и попробуем выразить переменную \(n\):

\[256 = (4 - \sqrt{3})^{5n-8}\]

Чтобы избавиться от степени и выразить переменную \(n\), нужно применить логарифмирование к обоим частям уравнения. Будем использовать натуральный логарифм \(\ln\):

\[\ln(256) = \ln((4 - \sqrt{3})^{5n-8})\]

Теперь по свойствам логарифма мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[(5n-8)\ln(4 - \sqrt{3}) = \ln(256)\]

Можно заметить, что \(\ln(4 - \sqrt{3})\) - это просто константа, так как \((4 - \sqrt{3})\) - фиксированное число. Пусть \(k = \ln(4 - \sqrt{3})\). Тогда уравнение можно переписать в виде:

\[(5n-8)k = \ln(256)\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно переменной \(n\):

\[5n-8 = \frac{\ln(256)}{k}\]

\[5n = \frac{\ln(256)}{k} + 8\]

\[n = \frac{\ln(256)}{5k} + \frac{8}{5}\]

Таким образом, мы получили выражение для переменной \(n\):

\[n = \frac{\ln(256)}{5k} + \frac{8}{5}\]

Теперь, чтобы определить, принадлежит ли число \(B\) данной последовательности, нам нужно проверить, является ли полученное значение \(n\) целым числом. Если оно является целым числом, то число \(B\) принадлежит последовательности, и находим номер соответствующего члена последовательности.

Подставим значение \(k = \ln(4 - \sqrt{3}) \approx 0.133\) и \(\ln(256) \approx 5.545\) в выражение для \(n\):

\[n \approx \frac{5.545}{5 \cdot 0.133} + \frac{8}{5} \approx 8.333 + 1.6 \approx 9.933\]

Так как \(n\) не является целым числом, мы можем сделать вывод, что число \(B = 256\) не принадлежит данной последовательности.

Ответ: Число \(B = 256\) не принадлежит последовательности \(y_n\).