Определите следующие характеристики для графика квадратичной функции y=f(x), представленного справа: - Диапазон

Zagadochnyy_Magnat

7

Характеристики графика квадратичной функции могут быть определены с использованием общей формулы квадратичной функции \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Давайте рассмотрим каждую характеристику поочередно.

1. Диапазон значений функции:
Диапазон значений функции зависит от вида графика квадратичной функции. Если график открывается вверх (коэффициент \(a\) положительный), то диапазон значений будет включать все значения, большие или равные y-координате вершины графика функции. Если график открывается вниз (коэффициент \(a\) отрицательный), то диапазон значений будет включать все значения, меньшие или равные y-координате вершины графика функции.

2. Координаты вершины:
Для определения координат вершины графика квадратичной функции, можно использовать формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). Координата \(x\) вершины будет равна \(x\)-значению из формулы, а для нахождения \(y\)-координаты можно подставить найденное значение \(x\) в уравнение функции.

3. Уравнение оси симметрии:
Ось симметрии для графика квадратичной функции всегда проходит через вершину функции. Уравнение оси симметрии можно записать в виде \(x = -\frac{b}{2a}\), где значения \(x\) лежат на оси симметрии.

4. Корни уравнения \(f(x)=0\):
Чтобы найти корни уравнения \(f(x)=0\), нужно решить квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\). Это можно сделать с помощью формулы дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\). Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то уравнение имеет один корень. Если дискриминант больше нуля (\(D > 0\)), то уравнение имеет два различных корня, а если дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), то уравнение не имеет действительных корней.

Приступим к решению данной задачи.
Имеется функция \(f(x)\), представленная на графике справа.

1. Диапазон значений функции:
Посмотрим на y-координату вершины графика функции, она является минимальным или максимальным значением функции в зависимости от направления открытия графика. Для этой функции график открывается вниз, поэтому диапазон значений будет включать все значения, меньшие или равные y-координате вершины.

2. Координаты вершины:
Чтобы найти координаты вершины графика функции, используем формулу \(x = -\frac{b}{2a}\). Подставим известные значения: \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 1\).
\[x = -\frac{4}{2(-1)} = 2\]
Чтобы найти значение \(y\) в вершине, подставим найденное значение \(x\) в уравнение функции:
\[y = f(2) = (-1)(2)^2 + 4(2) + 1 = -1 + 8 + 1 = 8\]
Таким образом, вершина графика функции имеет координаты \((2, 8)\).

3. Уравнение оси симметрии:
Используя формулу уравнения оси симметрии \(x = -\frac{b}{2a}\), подставим значения коэффициентов: \(a = -1\), \(b = 4\).
\[x = -\frac{4}{2(-1)} = 2\]
Уравнение оси симметрии для данного графика будет \(x = 2\).

4. Корни уравнения \(f(x)=0\):
Значение функции равно нулю, когда график пересекает ось \(x\). Чтобы найти корни уравнения \(f(x) = 0\), решим квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 1\).
\[(-1)x^2 + 4x + 1 = 0\]
Находим дискриминант: \(D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(-1)(1) = 16 + 4 = 20\) (дискриминант больше нуля).
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных действительных корня.
Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2(-1)}\]
\[x_{1,2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{-2}\]
\[x_{1,2} = 2 \mp \sqrt{5}\]
Таким образом, корни уравнения \(f(x) = 0\) равны \(x_1 = 2 - \sqrt{5}\) и \(x_2 = 2 + \sqrt{5}\).

Теперь мы определили все характеристики графика квадратичной функции \(y = f(x)\), представленного справа. Диапазон значений функции: \(-\infty < y \leq 8\), координаты вершины: \((2, 8)\), уравнение оси симметрии: \(x = 2\), корни уравнения \(f(x) = 0\): \(x_1 = 2 - \sqrt{5}\) и \(x_2 = 2 + \sqrt{5}\).