Определите, является ли функция y=|ctgx|+cosx периодической, и если она является, то укажите ее основной период, если

Сладкий_Ангел

29

Чтобы определить, является ли функция \( y = |\operatorname{ctgx}| + \cos{x} \) периодической, мы должны проверить, существует ли значение периода, при котором функция повторяется.

Для начала, давайте рассмотрим функцию \( g(x) = \operatorname{ctgx} \). Эта функция будет периодической, если выполняется следующее условие: \( g(x) = g(x + T) \), где T - период функции \( g(x) \).

Очевидно, что функция \( \operatorname{ctgx} \) является периодической с периодом \( \pi \), так как \( \operatorname{ctgx} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \), и значение \( \operatorname{ctgx} \) повторяется каждые \( \pi \) радиан.

Теперь вернемся к исходной функции \( y = |\operatorname{ctgx}| + \cos{x} \). Поскольку \( y \) зависит от значения \( \operatorname{ctgx} \) и \( \cos{x} \), чтобы узнать период функции \( y \), нам нужно проверить, повторяются ли значения \( \operatorname{ctgx} \) и \( \cos{x} \) при определенном значении T.

Давайте рассмотрим случай, когда \( x = 0 \). В этом случае \( y = |\operatorname{ctg0}| + \cos{0} = \infty + 1 = \infty \). Очевидно, что этот результат не повторяется для другого значения \( x \). Это говорит о том, что исходная функция \( y = |\operatorname{ctgx}| + \cos{x} \) не является периодической, так как она не определена для всех значений \( x \).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что функция \( y = |\operatorname{ctgx}| + \cos{x} \) не является периодической.