Определите значение косинуса угла между векторами b = 6m - n и c = m + 3n с условиями, что вектор m прямоуголен вектору

Snegir_416

50

Для начала, давайте определим, что значит, что вектор m является прямоугольным к вектору n. При двумерной геометрии, векторы m и n будут перпендикулярными, что означает, что угол между ними составляет 90 градусов.

Модуль вектора m равен модулю вектора n означает, что длина (или размер) вектора m равна длине вектора n.

Теперь, чтобы найти значение косинуса угла между векторами b и c, мы можем использовать следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}}}{{|\mathbf{b}| \cdot |\mathbf{c}|}}\]

где \(\theta\) - угол между векторами, \(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}\) - скалярное произведение векторов b и c, \(|\mathbf{b}|\) и \(|\mathbf{c}|\) - модули векторов b и c соответственно.

Теперь найдем скалярное произведение векторов b и c:

\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = (6m - n) \cdot (m + 3n)\)

Распределим это скалярное произведение:

\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 6m \cdot m + 6m \cdot 3n - n \cdot m - n \cdot 3n\)

Учитывая, что модуль вектора m равен модулю вектора n, мы можем записать это как:

\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 6|n|^2 + 18m \cdot n - |n|^2 - 3|n|^2\)

\(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = 18m \cdot n + 2|n|^2\)

Теперь, найдем модули векторов b и c:

\(|\mathbf{b}| = |6m - n|\)

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{(6m - n) \cdot (6m - n)}\)

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{36m \cdot m - 12m \cdot n + n \cdot n}\)

Учитывая, что модуль вектора m равен модулю вектора n, мы можем записать это как:

\(|\mathbf{b}| = \sqrt{48|n|^2}\)

\(|\mathbf{b}| = 4 \sqrt{3}|n|\)

Аналогично для вектора c:

\(|\mathbf{c}| = |m + 3n|\)

\(|\mathbf{c}| = \sqrt{(m + 3n) \cdot (m + 3n)}\)

\(|\mathbf{c}| = \sqrt{m \cdot m + 6m \cdot n + 9n \cdot n}\)

Учитывая, что модуль вектора m равен модулю вектора n, мы можем записать это как:

\(|\mathbf{c}| = \sqrt{10|n|^2}\)

\(|\mathbf{c}| = \sqrt{10}|n|\)

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos(\theta) = \frac{{18m \cdot n + 2|n|^2}}{{4 \sqrt{3}|n| \cdot \sqrt{10}|n|}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{{18m \cdot n + 2|n|^2}}{{4 \sqrt{30}|n|^2}}\]

\[\cos(\theta) = \frac{{9m \cdot n + |n|^2}}{{2 \sqrt{30}|n|^2}}\]

Итак, значение косинуса угла между векторами b и c равно \(\frac{{9m \cdot n + |n|^2}}{{2 \sqrt{30}|n|^2}}\).

Помните, что в данном решении мы предполагали, что вектор m прямоуголен вектору n и модуль вектора m равен модулю вектора n. Если эти условия не выполняются, то ответ может отличаться.