Оптика. Какое должно быть максимальное расстояние от монеты до плоского экрана в воде, чтобы невозможно было обнаружить

Щука

54

Показатель преломления воды равен \(n = 1.33\). Чтобы определить максимальное расстояние, нам нужно использовать понятие критического угла преломления. Критический угол преломления - это угол падения светового луча на границу раздела двух сред, при котором луч перестает преламываться и полностью отражается.

Для данной задачи мы можем использовать закон Снеллиуса:

\[
n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)
\]

где \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй сред соответственно, \(\theta_1\) - угол падения, а \(\theta_2\) - угол преломления.

Перенесем угол преломления \(\theta_2\) в значении синуса в левую часть уравнения:

\[
\sin(\theta_2) = \frac{{n_1 \cdot \sin(\theta_1)}}{{n_2}}
\]

Чтобы найти критический угол преломления, мы должны установить \(\sin(\theta_2)\) равным одному, так как луч перестаёт преламываться и полностью отражается. Заменим показатель преломления воздуха \(n_1\) на 1 и показатель преломления воды \(n_2\) на 1.33:

\[
\sin(\theta_2) = \frac{{1 \cdot \sin(\theta_1)}}{{1.33}}
\]

Следовательно, критическим углом преломления будет:

\[
\sin(\theta_c) = \frac{{1}}{{1.33}}
\]

Для наблюдения монеты из воздуха через плоский экран, световой луч должен попадать под углом, меньшим критического угла преломления. Это будет угол, при котором луч будет полностью отражаться, а не преломляться в воде. Так как воздух - это первая среда, с показателем преломления, являющимся практически 1, можно считать, что угол падения воздушного луча равен углу падения луча в воду.

Теперь, чтобы найти расстояние, мы можем воспользоваться геометрией и рассмотреть треугольник, образованный между монетой, плоским экраном и границей раздела двух сред. По теореме синусов, мы можем записать:

\[
\frac{{D}}{{r_1}} = \frac{{\sin(\theta_c)}}{{\sin(90 - \theta_c)}}
\]

где \(D\) - расстояние от монеты до плоского экрана, \(r_1\) - радиус монеты, \(\theta_c\) - критический угол преломления.

Таким образом, мы можем решить это уравнение относительно \(D\):

\[
D = r_1 \cdot \frac{{\sin(\theta_c)}}{{\sin(90 - \theta_c)}}
\]

Подставим значения радиусов и критического угла преломления:

\[
D = 2 \cdot \frac{{\sin(\arcsin(\frac{{1}}{{1.33}}))}}{{\sin(90 - \arcsin(\frac{{1}}{{1.33}}))}}
\]

После вычислений получаем:

\[
D \approx 5.09\ \text{см}
\]

Таким образом, максимальное расстояние от монеты до плоского экрана в воде, чтобы невозможно было обнаружить монету из воздуха при спокойной поверхности воды, составляет около 5.09 см.