Пекарь, испекший булочки, обнаружил, что температура их постепенно падает после вынимания из духовки в течение 20 минут

Luka

17

Для решения этой задачи мы можем использовать закон теплопередачи между нагретым телом и окружающей средой. Закон теплопередачи гласит следующее: скорость изменения теплоты, переходящей от тела к окружающей среде, пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Математический вид этого закона можно представить следующим образом:

\[\frac{dQ}{dt} = -k(T - T_{\text{окр}})\]

где \(\frac{dQ}{dt}\) - скорость изменения теплоты, переходящей от тела к окружающей среде (тепловой поток),
\(T\) - температура тела,
\(T_{\text{окр}}\) - температура окружающей среды,
\(k\) - коэффициент пропорциональности.

а) Чтобы найти общее время охлаждения булочек, нужно решить дифференциальное уравнение с начальными условиями. Начальное условие состоит в том, что температура булочек после вынимания из духовки равна 100 градусам. Искомая величина - время \(t_0\), когда температура булочек достигнет температуры окружающей среды (40 градусов). Уравнение примет следующий вид:

\[\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{окр}})\]

с начальным условием \(T(0) = 100\).

Мы можем решить это уравнение методом разделения переменных. Разделив переменные, мы получим:

\[\frac{1}{T - T_{\text{окр}}} dT = -k dt\]

Проинтегрируем обе части уравнения:

\[\int \frac{1}{T - T_{\text{окр}}} dT = -k \int dt\]

Интегрируя, получим:

\[\ln|T - T_{\text{окр}}| = -kt + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования. Применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

\[|T - T_{\text{окр}}| = e^{-kt + C}\]

Можно заметить, что поскольку \(T - T_{\text{окр}}\) - разность температур, она не может быть отрицательной, поэтому абсолютное значение можно убрать:

\[T - T_{\text{окр}} = e^{-kt + C}\]

Учитывая начальное условие \(T(0) = 100\), получим:

\[100 - T_{\text{окр}} = e^C\]

Обозначим \(e^C\) как константу \(A\):

\[100 - T_{\text{окр}} = A\]

Выразим константу \(A\):

\[A = 100 - T_{\text{окр}}\]

Теперь можно записать окончательное уравнение:

\[T = T_{\text{окр}} + (100 - T_{\text{окр}})e^{-kt}\]

Подставляя \(T_{\text{окр}} = 18\), получим:

\[T = 18 + (100 - 18)e^{-kt}\]

Теперь найдем значение времени \(t_0\), когда \(T = 40\). Подставляя \(T = 40\), получим:

\[40 = 18 + 82e^{-kt_0}\]

Выразим \(e^{-kt_0}\):

\[e^{-kt_0} = \frac{40 - 18}{82}\]

\[e^{-kt_0} = \frac{22}{82}\]

\[e^{-kt_0} = \frac{1}{4}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

\[-kt_0 = \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

Поделим обе части на \(-k\):

\[t_0 = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

Окончательная формула для времени охлаждения булочек:

\[t_0 = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

б) Теперь найдем значение времени \(t_1\), когда температура булочек достигнет 40 градусов. Подставляя \(T = 40\), получим:

\[40 = 18 + 82e^{-kt_1}\]

Выразим \(e^{-kt_1}\):

\[e^{-kt_1} = \frac{40 - 18}{82}\]

\[e^{-kt_1} = \frac{22}{82}\]

\[e^{-kt_1} = \frac{1}{4}\]

Возьмем натуральный логарифм от обеих сторон:

\[-kt_1 = \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

Поделим обе части на \(-k\):

\[t_1 = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]

Окончательная формула для времени, когда температура булочек достигнет 40 градусов:

\[t_1 = -\frac{1}{k} \ln\left(\frac{1}{4}\right)\]