Переформулируйте неравенство и найдите его решение: Какое неравенство можно использовать вместо равносильного

Artemovna_1166

12

Для переформулирования данного равносильного неравенства, давайте решим его шаг за шагом.

Исходное равносильное неравенство:
\(\frac{{3x + 2}}{{x^2 + x - 2}}\)

Нам необходимо переформулировать это неравенство. Для начала, давайте разложим знаменатель на множители:
\(x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)\)

Теперь мы можем переписать исходное неравенство:
\(\frac{{3x + 2}}{{(x - 1)(x + 2)}}\)

Заметим, что исходное неравенство будет UNDEFINED, когда знаменатель равен нулю. То есть, \(x - 1 = 0\) или \(x + 2 = 0\).

Решим эти два уравнения:
\(x - 1 = 0\), \(x = 1\)
\(x + 2 = 0\), \(x = -2\)

Теперь, мы можем разделить исходное неравенство на три интервала:
1. Интервал \((- \infty, -2)\)
2. Интервал \((-2, 1)\)
3. Интервал \((1, +\infty)\)

Теперь рассмотрим каждый из этих интервалов.

1. Для интервала \((- \infty, -2)\):
Мы можем принять любое значение меньше, чем -2 для x. Подставим, например, x = -3 и проверим неравенство:
\(\frac{{3(-3) + 2}}{{((-3) - 1)((-3) + 2)}} = \frac{{-7}}{{-16}} = \frac{{7}}{{16}}\)
Таким образом, значения для x, меньшие -2, удовлетворяют данному неравенству.

2. Для интервала \((-2, 1)\):
Возьмем значение x внутри этого интервала, например, x = 0:
\(\frac{{3(0) + 2}}{{((0) - 1)((0) + 2)}} = \frac{{2}}{{-2}} = -1\)
Таким образом, значения для x, находящиеся внутри интервала \((-2, 1)\), не удовлетворяют данному неравенству.

3. Для интервала \((1, +\infty)\):
Мы можем выбрать любое значение, большее 1 для x. Подставим, например, x = 2 и проверим неравенство:
\(\frac{{3(2) + 2}}{{((2) - 1)((2) + 2)}} = \frac{{8}}{{12}} = \frac{{2}}{{3}}\)
Таким образом, значения для x, большие 1, удовлетворяют данному неравенству.

Таким образом, мы получаем решение:
\(x \in (- \infty, -2) \cup (1, +\infty)\)

В таком представлении, переформулированное неравенство звучит:

\[x \in (- \infty, -2) \cup (1, +\infty)\]