Перепишите множитель из-под знака корня: 1)√52; 2)√112; 3)√500; 4)√0,45; 5)√1/6(дробь)√216; 6)-1,2√175; 7)-15√0,32

  • 32
Перепишите множитель из-под знака корня: 1)√52; 2)√112; 3)√500; 4)√0,45; 5)√1/6(дробь)√216; 6)-1,2√175; 7)-15√0,32; 8)5/8(дробь)√5(целая) 3/25(дробь).​
Tigressa
6
Конечно, я помогу вам с этими задачами! Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Чтобы переписать множитель из-под знака корня, нужно разложить число на простые множители и вычислить корень из них.

Поглажу разложение числа \(52\) на простые сомножители:

\[52 = 2 \cdot 2 \cdot 13\]

Теперь мы можем переписать задачу следующим образом:

\[\sqrt{52} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 13}\]

Так как корень из произведения равен произведению корней, получаем:

\[\sqrt{52} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}\]

Ответ: \(2\sqrt{13}\)

2) Разложим число \(112\) на простые множители:

\[112 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7\]

Задача теперь может быть записана как:

\[\sqrt{112} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}\]

Опять же, применяем свойство корня из произведения:

\[\sqrt{112} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}\]

Ответ: \(4\sqrt{7}\)

3) Разложим число \(500\) на простые множители:

\[500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\]

Теперь перепишем задачу:

\[\sqrt{500} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}\]

И опять применим свойство корня:

\[\sqrt{500} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{5} = 10\sqrt{5}\]

Ответ: \(10\sqrt{5}\)

4) Задача похожа на предыдущие задачи. Разложим число \(0.45\) на множители:

\[0.45 = 0.9 \cdot 0.5 = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2}\]

Теперь мы можем переписать задачу:

\[\sqrt{0.45} = \sqrt{\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2}}\]

Поскольку корень квадратный избавляет нас от знаменателей, мы можем записать:

\[\sqrt{0.45} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Но мы хотим избавиться от корней в знаменателе, поэтому помножим их на \(\sqrt{10}\) и \(\sqrt{2}\):

\[\sqrt{0.45} = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{10}\sqrt{2}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20}}\]

Теперь можем упростить выражение:

\[\sqrt{0.45} = \frac{3\sqrt{20}}{\sqrt{20}} = 3\]

Ответ: \(3\)

5) Начнем с разложения числа \(216\) на простые множители:

\[216 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\]

Теперь перепишем задачу:

\[\sqrt{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{216} = \sqrt{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}\]

Применяя свойство корня из произведения:

\[\sqrt{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{216} = \sqrt{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\]

Разместим числители в отдельном корне, а методом сокращения упростим выражение:

\[\sqrt{\frac{1}{6}} \cdot \sqrt{216} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{6}} = \frac{18}{\sqrt{6}}\]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{6}\):

\[\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}\]

Ответ: \(3\sqrt{6}\)

6) Теперь решим задачу со знаком "-" перед корнем:

\(-1,2\sqrt{175}\)

Начнем с разложения числа \(175\) на простые множители:

\(175 = 5 \cdot 5 \cdot 7\)

Перепишем задачу:

\(-1,2\sqrt{175} = -1,2\sqrt{5 \cdot 5 \cdot 7}\)

Воспользуемся свойством корня из произведения:

\(-1,2\sqrt{175} = -1,2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7} = -1,2 \cdot 5 \cdot \sqrt{7} = -6\sqrt{7}\)

Ответ: \(-6\sqrt{7}\)

7) Перейдем к следующей задаче:

\(-15\sqrt{0,32}\)

Давайте начнем с перевода десятичной дроби в вид, удобный для работы:

\(0,32 = \frac{32}{100} = \frac{16}{50} = \frac{16}{5 \cdot 10}\)

Теперь можем переписать задачу:

\(-15\sqrt{0,32} = -15\sqrt{\frac{16}{5 \cdot 10}}\)

Применим свойство корня из произведения:

\(-15\sqrt{0,32} = -15\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{5 \cdot 10}}\)

Так как \(\sqrt{16} = 4\), получим:

\(-15\sqrt{0,32} = -15\frac{4}{\sqrt{5 \cdot 10}} = -60\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 10}}\)

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на \(\sqrt{5 \cdot 10}\):

\(-60\frac{1}{\sqrt{5 \cdot 10}} = -60\frac{\sqrt{5 \cdot 10}}{\sqrt{5 \cdot 10} \cdot \sqrt{5 \cdot 10}} = -60\frac{\sqrt{5 \cdot 10}}{5 \cdot 10} = -12\sqrt{5 \cdot 10}\)

Ответ: \(-12\sqrt{5 \cdot 10}\)

8) Наконец, решим последнюю задачу:

\(\frac{5}{8}\sqrt{5 \cdot 3}{25}\)

Перепишем десятичную дробь 0.25 в вид обыкновенной дроби:

\[0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}\]

Теперь перепишем задачу:

\(\frac{5}{8}\sqrt{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{4}\)

Применим свойство корня:

\(\frac{5}{8}\sqrt{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{4}}\)

Так как \(\sqrt{4} = 2\):

\(\frac{5}{8}\sqrt{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}}{2}\)

Получаем:

\(\frac{5}{8}\sqrt{5 \cdot 3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{5\sqrt{15}}{8 \cdot 2}\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{5\sqrt{15}}{8 \cdot 2} = \frac{5\sqrt{15}}{16}\)

Ответ: \(\frac{5\sqrt{15}}{16}\)

Надеюсь, подробные решения помогли вам разобраться с задачами! Я всегда готов помочь!