Чему равна площадь треугольника, образованного точками пересечения графика функции f(x) = 2x^2 + x - 3 с осями

Магнитный_Ловец

49

Для решения этой задачи нам необходимо найти точки пересечения графика функции \(f(x) = 2x^2 + x - 3\) с осями координат. Это можно сделать, приравнивая значение функции \(f(x)\) к нулю и решая полученное уравнение.

Когда функция пересекает ось \(x\), то значение \(f(x)\) равно нулю. Поэтому мы можем решить уравнение \(2x^2 + x - 3 = 0\) для нахождения точек пересечения с осью \(x\).

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой корней:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) являются коэффициентами квадратного уравнения. В нашем случае \(a = 2\), \(b = 1\) и \(c = -3\).

Вычислим значение дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)\]
\[D = 1 + 24 = 25\]

Так как значение дискриминанта \(D\) положительно, то у нас есть два корня:

\[x_1 = \frac{{-1 + \sqrt{25}}}{{4}} = \frac{{-1 + 5}}{{4}} = \frac{{4}}{{4}} = 1\]
\[x_2 = \frac{{-1 - \sqrt{25}}}{{4}} = \frac{{-1 - 5}}{{4}} = \frac{{-6}}{{4}} = -\frac{{3}}{{2}}\]

Таким образом, график функции \(f(x) = 2x^2 + x - 3\) пересекает ось \(x\) в точках \(x = 1\) и \(x = -\frac{{3}}{{2}}\).

Чтобы найти площадь треугольника, образованного этими точками пересечения и осями координат, мы должны найти длины его сторон.

Основание треугольника является расстоянием между точками пересечения \(x = 1\) и \(x = -\frac{{3}}{{2}}\). Это можно найти, вычислив их разность по модулю:

\[ \text{Основание треугольника} = |1 - (-\frac{{3}}{{2}})| = |1 + \frac{{3}}{{2}}| = |1.5 + 1| = |2.5| = 2.5 \]

Чтобы найти высоту треугольника, мы должны найти значение функции \(f(x)\) в одной из точек пересечения и в точке, где \(x = 0\). Давайте найдем значение функции \(f(x)\) в точке пересечения \(x = 1\):

\[ f(1) = 2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0 \]

Высота треугольника, следовательно, равна \(0\).

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника, применяя формулу:

\[ \text{Площадь треугольника} = \frac{{\text{Основание} \times \text{Высота}}}{{2}} = \frac{{2.5 \times 0}}{{2}} = 0 \]

Таким образом, площадь треугольника, образованного точками пересечения графика функции \(f(x) = 2x^2 + x - 3\) с осями координат, равна \(0\).