Переведите бесконечную периодическую десятичную дробь 10, 5(3) в обыкновенную дробь

Даша

59

Для начала давайте разберемся с тем, что такое бесконечная периодическая десятичная дробь. Бесконечная периодическая десятичная дробь - это десятичная дробь, в которой после запятой повторяется некоторая последовательность цифр бесконечное количество раз.

Итак, дана десятичная дробь 10,5(3). Цифра 5 указывает на начало периода, а цифра 3 является самим периодом. Чтобы перевести эту десятичную дробь в обыкновенную, мы должны записать ее в виде рациональной дроби, то есть дроби вида \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) - целые числа, а \(b\) не равно нулю.

Давайте обозначим нашу десятичную дробь как \(x\). Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[x = 10,5(3)\]

Чтобы избавиться от периода в десятичной дроби, мы можем умножить ее на 10 в степени, равной количеству цифр в периоде. В нашем случае, это 10 в степени 1, так как период состоит из одной цифры.

\[10x = 105,5(3)\]

Теперь мы вычтем первоначальное уравнение из нового:

\[10x - x = 105,5(3) - 10,5(3)\]

\[9x = 105\]

Теперь мы можем записать нашу десятичную дробь в виде обыкновенной:

\[x = \frac{105}{9}\]

Далее, мы можем упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель. В данном случае, наибольший общий делитель чисел 105 и 9 равен 3.

\[x = \frac{\frac{105}{3}}{\frac{9}{3}}\]

\[x = \frac{35}{3}\]

Таким образом, бесконечная периодическая десятичная дробь 10,5(3) равна обыкновенной дроби \(\frac{35}{3}\).