Площадь большого треугольника, если b-a = 3 и треугольники подобны

Мандарин

19

Для начала давайте разберем, что значит, что треугольники подобны. Если две фигуры подобны, это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны, а соответствующие углы равны. В данной задаче треугольники подобны, поэтому мы можем использовать этот факт для решения.

Предположим, что большой треугольник имеет стороны \(A\), \(B\) и \(C\), а маленький треугольник соответственно имеет стороны \(a\), \(b\) и \(c\). Мы знаем, что \(b - a = 3\).

Так как треугольники подобны, мы можем установить пропорцию между их сторонами:

\[\frac{A}{a} = \frac{B}{b} = \frac{C}{c}\]

Мы также можем использовать известное равенство пропорции, чтобы избавиться от дроби:

\[A \cdot b = a \cdot B = c \cdot C\]

Теперь вернемся к условию задачи. Мы знаем, что \(b - a = 3\). Заменим \(b\) в пропорции на \(a + 3\):

\[A \cdot (a + 3) = a \cdot B = c \cdot C\]

Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, мы можем применить эту формулу к нашим треугольникам.

Площадь большого треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot B \cdot C\), а площадь маленького треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot c\).

Подставим наши значения в формулу площади маленького треугольника:

\(\frac{1}{2} \cdot a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot (a + 3) \cdot C\)

Упростим выражение, убрав \(\frac{1}{2}\) с обеих сторон:

\(a \cdot c = (a + 3) \cdot C\)

Раскроем скобки:

\(a \cdot c = a \cdot C + 3 \cdot C\)

Теперь перенесем все члены с \(a\) в одну часть уравнения, чтобы они затем сократились:

\(a \cdot c - a \cdot C = 3 \cdot C\)

Извлечем \(a\) как общий множитель:

\(a \cdot (c - C) = 3 \cdot C\)

Теперь найдем площадь большого треугольника, подставив \(C\) для основания и \((c - C)\) для высоты:

Площадь большого треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot B \cdot C\). Ранее мы доказали, что \(B = a\). Поэтому, подставляя эти значения:

Площадь большого треугольника равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot C = \frac{1}{2} \cdot (c - C) \cdot C\).

Теперь мы можем упростить это выражение:

\[\frac{1}{2} \cdot (c - C) \cdot C = \frac{1}{2} \cdot (c \cdot C - C^2) = \frac{c \cdot C - C^2}{2}\]

Итак, площадь большого треугольника равна \(\frac{c \cdot C - C^2}{2}\). Это является окончательным ответом на задачу.