По информации, площадь поверхности малого поршня составляет 192 см2, а поверхности большого поршня - 960 см2

Орех

13

Для решения данной задачи мы воспользуемся принципом Паскаля, который гласит, что давление, создаваемое на жидкость в закрытой емкости, распространяется одинаково во всех направлениях. Это означает, что давление, создаваемое на малый поршень, будет равно давлению, создаваемому на большой поршень.

Давление вычисляется с помощью формулы:

\[P = \frac{F}{A}\]

где:
- P - давление,
- F - сила, действующая на поршень,
- A - площадь поверхности поршня.

Мы знаем, что давление на большой поршень равно 120 Н, а площадь поверхности большого поршня составляет 960 см². Подставим эти значения в формулу и найдем значение давления:

\[P = \frac{120 \, \text{Н}}{960 \, \text{см}^2} = 0,125 \, \text{Н/см}^2\]

Так как жидкость находится в состоянии равновесия, то давление, создаваемое на малый поршень, также будет равно \(0,125 \, \text{Н/см}^2\).

Теперь мы можем вычислить массу шара, используя формулу давления на глубине в жидкости:

\[P = \rho \cdot g \cdot h\]

где:
- P - давление,
- \(\rho\) - плотность жидкости,
- g - ускорение свободного падения,
- h - высота столба жидкости.

Нам известно значение ускорения свободного падения \(g\) (10 Н/кг), поэтому нам нужно найти плотность жидкости и высоту столба жидкости.

Чтобы найти плотность, воспользуемся формулой плотности:

\(\rho = \frac{m}{V}\)

где:
- \(\rho\) - плотность,
- m - масса,
- V - объем.

Объем жидкости можно выразить через площадь поверхности малого поршня:

\[V = S \cdot h\]

где:
- S - площадь поверхности поршня,
- h - высота столба жидкости.

Подставим значение площади поверхности малого поршня (192 см²) и давление (0,125 Н/см²) в формулу площади поверхности малого поршня:

\[A = \frac{P}{h}\]

\[192 \, \text{см}^2 = \frac{0,125 \, \text{Н/см}^2}{h}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h:

\[h = \frac{0,125 \, \text{Н/см}^2}{192 \, \text{см}^2} = 0,00065104 \, \text{см}\]

Теперь, чтобы найти плотность, нам нужно подставить значение высоты и объема в формулу плотности:

\(\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{S \cdot h}\)

Подставим известные значения:

\(0,125 \, \text{Н/см}^2 = \rho \cdot 10 \, \text{Н/кг} \cdot 0,00065104 \, \text{см}\)

Раскроем скобки:

\(0,125 \, \text{Н/см}^2 = 0,0065104 \, \text{см/кг} \cdot \rho\)

Теперь найдем плотность:

\(\rho = \frac{0,125 \, \text{Н/см}^2}{0,0065104 \, \text{см/кг}} = 19,15 \, \text{кг/см}^3\)

Теперь у нас есть плотность жидкости. Чтобы найти массу шара, воспользуемся формулой давления на глубине в жидкости:

\[P = \rho \cdot g \cdot h\]

Подставим известные значения:

\(0,125 \, \text{Н/см}^2 = 19,15 \, \text{кг/см}^3 \cdot 10 \, \text{Н/кг} \cdot h\)

Раскроем скобки:

\(0,125 \, \text{Н/см}^2 = 191,5 \, \text{Н/см}^2 \cdot h\)

Теперь решим это уравнение относительно h:

\(h = \frac{0,125 \, \text{Н/см}^2}{191,5 \, \text{Н/см}^2} = 0,00065104 \, \text{см}\)

Таким образом, значение высоты столба жидкости h также равно 0,00065104 см.

Теперь мы можем найти массу шара, используя формулу:

\(m = \rho \cdot V\)

Подставим известные значения:

\(m = 19,15 \, \text{кг/см}^3 \cdot 0,00065104 \, \text{см} \cdot S\)

У нас есть значение площади поверхности большого поршня - 960 см².

\(m = 19,15 \, \text{кг/см}^3 \cdot 0,00065104 \, \text{см} \cdot 960 \, \text{см}^2\)

Распишем это:

\(m = 19,15 \, \text{кг/см}^3 \cdot 0,626024 \, \text{см}^3\)

Теперь рассчитаем значение массы:

\(m ≈ 0,012 \, \text{кг}\)

Таким образом, масса шара составляет примерно 0,012 кг при условии, что жидкость в гидравлической системе находится в состоянии равновесия.