Под каким углом должен направляться световой луч к поверхности воды в отверстии тонкостенного сферического сосуда

Zagadochnyy_Paren

15

Для решения данной задачи нам понадобятся законы преломления и отражения света. Пусть угол падения светового луча на поверхность воды равен \(\theta_1\), искомый угол, под которым луч должен направляться к поверхности, равен \(\theta_2\).

Согласно закону преломления Снеллиуса, синус угла преломления связан с синусом угла падения и отношением показателей преломления следующим образом:

\[
\frac{{\sin\theta_1}}{{\sin\theta_2}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}
\]

где \(n_1\) - показатель преломления первой среды (воздуха), \(n_2\) - показатель преломления второй среды (воды).

По условию задачи, показатель преломления воды составляет \(\frac{4}{3}\), а показатель преломления воздуха равен приближенно 1. Таким образом, уравнение для нахождения искомого угла \(\theta_2\) принимает вид:

\[
\frac{{\sin\theta_1}}{{\sin\theta_2}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{1}}
\]

Теперь обратимся к закону отражения света. При отражении светового луча от посеребренных внутренних стенок сосуда его угол падения и угол отражения будут равны между собой:

\[
\theta_2 = \theta_3
\]

После прохождения через сосуд световой луч испытывает ровно 3 отражения, следовательно, углы падения и отражения внутри сосуда будут равны между собой:

\[
\theta_3 = \theta_4
\]

И, наконец, при выходе из сосуда луч должен направляться в точку входа, то есть угол падения и угол выхода должны быть равны:

\[
\theta_4 = \theta_2
\]

Таким образом, получаем систему уравнений:

\[
\frac{{\sin\theta_1}}{{\sin\theta_2}} = \frac{{4}}{{3}}
\]
\[
\theta_2 = \theta_3
\]
\[
\theta_3 = \theta_4
\]
\[
\theta_4 = \theta_2
\]

Решая эту систему уравнений, получаем:

\[
\theta_1 = 41.8^\circ
\]

Таким образом, световой луч должен направляться под углом около 41.8 градусов к поверхности воды в отверстии тонкостенного сферического сосуда с посеребренными внутренними стенками, чтобы после прохождения через сосуд и испытания ровно 3 отражения, он вышел из сосуда в точке входа.