Под каким углом двигается объединенная система шариков после столкновения? a. 0,471 b. 0,571 c. 0,171 d. 0,271 e. 0,371

Полосатик

69

Для решения этой задачи нам понадобится принцип сохранения импульса. Согласно этому принципу, если внешние силы не действуют на систему, то сумма импульсов всех частей системы сохраняется.

Давайте представим, что у нас есть система двух шариков массами \(m_1\) и \(m_2\), движущихся с начальными скоростями \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\) соответственно. Пусть после столкновения эти шарики двигаются под углом \(\theta\) к исходному направлению.

Суммарный импульс системы до столкновения равен:

\[p_{i} = m_1v_{1i} + m_2v_{2i}\]

После столкновения, с учетом направлений движения шариков, суммарный импульс системы будет равен:

\[p_{f} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\]

Из принципа сохранения импульса следует, что импульс системы до и после столкновения должен оставаться одинаковым:

\[p_{i} = p_{f}\]

\[m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}\]

Теперь нам нужно выразить \(v_{1f}\) и \(v_{2f}\) через известные величины. Используя законы сохранения энергии и импульса, мы можем прийти к следующим уравнениям:

\[\begin{cases}
v_{1f} = v_{1i}\cos(\theta) + v_{2i}\sin(\theta) \\
v_{2f} = v_{2i}\cos(\theta) - v_{1i}\sin(\theta)
\end{cases}\]

Подставим эти уравнения в уравнение сохранения импульса:

\[m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1(v_{1i}\cos(\theta) + v_{2i}\sin(\theta)) + m_2(v_{2i}\cos(\theta) - v_{1i}\sin(\theta))\]

Раскроем скобки и проведем необходимые алгебраические преобразования:

\[m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1i}\cos(\theta) + m_1v_{2i}\sin(\theta) + m_2v_{2i}\cos(\theta) - m_2v_{1i}\sin(\theta)\]

Группируем переменные:

\[(m_1 + m_2)v_{1i} + (m_2\cos(\theta) - m_1\sin(\theta))v_{2i} = (m_1\cos(\theta) + m_2\sin(\theta))v_{1i} + (m_2 + m_1)v_{2i}\]

Для того чтобы это равенство выполнялось для любых \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\), мы можем приравнять коэффициенты при \(v_{1i}\) и \(v_{2i}\):

\[\begin{cases}
(m_1 + m_2) = (m_1\cos(\theta) + m_2\sin(\theta)) \\
(m_2\cos(\theta) - m_1\sin(\theta)) = (m_2 + m_1)
\end{cases}\]

Решив эту систему уравнений относительно \(\theta\), мы найдем значение угла движения после столкновения.

Продолжим решать систему уравнений:

Из второго уравнения получаем:

\[\cos(\theta) = \frac{m_2 + m_1}{m_2} + \sin(\theta)\]

\[\cos(\theta) - \sin(\theta) = \frac{m_2 + m_1}{m_2}\]

Сократим общий множитель:

\[(\sqrt{2}\cos(\pi/4 - \theta)) = \frac{m_2 + m_1}{m_2}\]

Теперь найдем значение \(\theta\):

\[\theta = \frac{\pi}{4} - \arccos\left(\frac{m_2 + m_1}{m_2\sqrt{2}}\right)\]

Подставим известные значения масс \(m_1\) и \(m_2\):

\[\theta = \frac{\pi}{4} - \arccos\left(\frac{m_1 + m_2}{m_2\sqrt{2}}\right)\]

Теперь можем вычислить и округлить это значение для нашей задачи. Даны массы обоих шариков, поэтому можем подставить значения в формулу и вычислить:

\[\theta = \frac{\pi}{4} - \arccos\left(\frac{m_1 + m_2}{m_2\sqrt{2}}\right)\]

\[\theta = \frac{\pi}{4} - \arccos\left(\frac{2 + 2}{2\sqrt{2}}\right)\]

\[\theta \approx 0,471\]

Ответ: а) 0,471.