Под каким условием сумма, разность, произведение и частное двух несократимых дробей будут целыми числами?

Ярд

53

Для того чтобы сумма, разность, произведение и частное двух несократимых дробей были целыми числами, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель одной дроби делился нацело на числитель другой дроби (или, что эквивалентно, чтобы знаменатель одной дроби был кратен числителю другой дроби).

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Сумма: Пусть у нас есть две несократимые дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\). Чтобы сумма этих дробей была целым числом, необходимо и достаточно, чтобы \(b\) делилось нацело на \(d\), или что эквивалентно, чтобы \(b\) было кратно \(d\).

2. Разность: Пусть у нас есть две несократимые дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\). Чтобы разность этих дробей была целым числом, необходимо и достаточно, чтобы \(b\) делилось нацело на \(d\), или что эквивалентно, чтобы \(b\) было кратно \(d\).

3. Произведение: Пусть у нас есть две несократимые дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\). Чтобы произведение этих дробей было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы \(b\) было кратно \(d\), или что эквивалентно, чтобы \(d\) было кратно \(b\).

4. Частное: Пусть у нас есть две несократимые дроби \(\frac{a}{b}\) и \(\frac{c}{d}\). Чтобы частное этих дробей было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы \(b\) было кратно \(c\), или что эквивалентно, чтобы \(c\) делилось нацело на \(b\).

Таким образом, если знаменатель одной несократимой дроби является кратным числителю другой несократимой дроби, то сумма, разность, произведение и частное этих дробей будут целыми числами.