Под каким условием сумма, разность, произведение и частное двух несократимых дробей будут целыми числами?

Ярд

53

Для того чтобы сумма, разность, произведение и частное двух несократимых дробей были целыми числами, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель одной дроби делился нацело на числитель другой дроби (или, что эквивалентно, чтобы знаменатель одной дроби был кратен числителю другой дроби).

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

1. Сумма: Пусть у нас есть две несократимые дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Чтобы сумма этих дробей была целым числом, необходимо и достаточно, чтобы $b$ делилось нацело на $d$, или что эквивалентно, чтобы $b$ было кратно $d$.

2. Разность: Пусть у нас есть две несократимые дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Чтобы разность этих дробей была целым числом, необходимо и достаточно, чтобы $b$ делилось нацело на $d$, или что эквивалентно, чтобы $b$ было кратно $d$.

3. Произведение: Пусть у нас есть две несократимые дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Чтобы произведение этих дробей было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы $b$ было кратно $d$, или что эквивалентно, чтобы $d$ было кратно $b$.

4. Частное: Пусть у нас есть две несократимые дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Чтобы частное этих дробей было целым числом, необходимо и достаточно, чтобы $b$ было кратно $c$, или что эквивалентно, чтобы $c$ делилось нацело на $b$.

Таким образом, если знаменатель одной несократимой дроби является кратным числителю другой несократимой дроби, то сумма, разность, произведение и частное этих дробей будут целыми числами.