Под какими значениями параметра a неравенство ax^2+5ax+4a+3 не будет иметь корней?

Paporotnik

5

Для того чтобы неравенство \(ax^2+5ax+4a+3\) не имело корней, дискриминант должен быть меньше нуля (\(\Delta<0\)). Давайте посчитаем дискриминант и найдем условия, при которых он меньше нуля.

Дискриминант вычисляется по формуле \(\Delta = b^2-4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2+bx+c\). В данной задаче \(a\) равно коэффициенту при \(x^2\), т.е. \(a\), \(b\) равно коэффициенту при \(x\), т.е. \(5a\), а \(c\) равно свободному члену, т.е. \(4a+3\).

Подставим значения в формулу для дискриминанта:
\[\Delta=(5a)^2-4a(4a+3)=25a^2-16a^2-12a=9a^2-12a\]

Теперь посмотрим, при каких значениях параметра \(a\) дискриминант будет меньше нуля. Для этого нужно решить неравенство \(\Delta<0\):
\[9a^2-12a<0\]

Для начала, вынесем общий множитель \(3a\):
\[3a(3a-4)<0\]

Далее, рассмотрим каждый множитель отдельно:
1) \(3a<0\) - это значит, что \(a\) должно быть отрицательным.
2) \(3a-4<0\) - это значит, что \(a\) должно быть меньше \(\frac{4}{3}\).

Следовательно, условиями для параметра \(a\) являются:
1) \(a<0\)
2) \(a<\frac{4}{3}\)

Окончательный ответ: неравенство \(ax^2+5ax+4a+3\) не будет иметь корней, когда параметр \(a\) удовлетворяет условиям \(a<0\) и \(a<\frac{4}{3}\).