Подтвердите, что (1+ctg^2a)(1-cos^2a)=1 для всех возможных значений

Chaynyy_Drakon

65

Давайте рассмотрим задачу подробно.

Мы должны подтвердить, что выражение \((1+\cot^2{a})(1-\cos^2{a})\) равно 1 для всех возможных значений \(a\).

Давайте начнем с раскрытия скобок:

\((1+\cot^2{a})(1-\cos^2{a}) = 1 \cdot 1 - 1 \cdot \cos^2{a} + \cot^2{a} \cdot 1 - \cot^2{a} \cdot \cos^2{a}\)

Теперь упростим это выражение:

\(1 - \cos^2{a} + \cot^2{a} - \cot^2{a} \cdot \cos^2{a}\)

Далее, зная, что \(\cot{a} = \frac{1}{\tan{a}}\) и \(\cos^2{a} = 1 - \sin^2{a}\), мы можем продолжить:

\(1 - (1 - \sin^2{a}) + \frac{1}{\tan^2{a}} - \frac{\sin^2{a}}{\tan^2{a}}\)

Упростим дальше:

\(1 - 1 + \sin^2{a} + \frac{1}{\tan^2{a}} - \frac{\sin^2{a}}{\tan^2{a}}\)

\(= \sin^2{a} + \frac{1}{\tan^2{a}} - \frac{\sin^2{a}}{\tan^2{a}}\)

Заметим, что \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\), поэтому \(\frac{1}{\tan^2{a}} = \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}}\).

Подставим это обратно в наше выражение:

\(= \sin^2{a} + \frac{\cos^2{a}}{\sin^2{a}} - \frac{\sin^2{a}}{\cos^2{a}}\)

Теперь, с помощью тригонометрических свойств, мы знаем, что \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\), поэтому:

\(= 1 - 1\)

\(= 0\)

Таким образом, мы видим, что исходное выражение равно 0, а не 1.