Подтвердите, что четырехугольник abcd будет параллелограммом, когда векторы dc выражаются как сумма векторов ap

Сумасшедший_Рыцарь

15

Чтобы доказать, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом, нам нужно установить, что противоположные стороны параллельны.

Если векторы \(DC\) выражены в виде суммы векторов \(AP\) и \(XB\), то можно записать:
\(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{XB}\)

Нам также известно, что векторы \(AB\) и \(CD\) равны между собой:
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\)

Векторы можно представить как направленные отрезки смещения между точками. В нашем случае, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) представляют смещение от точки \(A\) к точке \(B\) и от точки \(C\) к точке \(D\) соответственно.

Если векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) равны, то смещение от точки \(A\) к точке \(B\) будет таким же, как смещение от точки \(C\) к точке \(D\). Это говорит о параллельности сторон \(AB\) и \(CD\).

Для подтверждения этого, мы можем выразить векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) через заданные векторы \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{XB}\).

Используя правила сложения векторов, можем записать:
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}\)
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\)

Теперь у нас две формулы, и мы можем сравнить их:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}\)
\(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\)

Если мы подставим выражение для \(\overrightarrow{DC}\) (сумму \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{XB}\)) вместо \(\overrightarrow{CD}\) во вторую формулу, получим:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}\)
\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{XB}\)

Теперь мы можем сгруппировать подобные слагаемые и увидеть, что \(\overrightarrow{PB}\) и \(\overrightarrow{XB}\) взаимно уничтожаются:

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}\)
\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{XB}\)

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{PB}\)
\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{XB}\)

Теперь мы можем переписать выражение в виде:

\(\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}\)
\(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\)

Теперь отметим, что векторы \(\overrightarrow{PB}\) и \(\overrightarrow{XB}\) равны и противоположно направлены. Следовательно, \(\overrightarrow{PB} = -\overrightarrow{XB}\).

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{XB}\)
\(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{XB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\)

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при соответствующих векторах и убедиться, что они равны:

\(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{XB}\)
\(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AP} - \overrightarrow{XB}\)

Из этого следует, что \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AP} = -\overrightarrow{AC}\).

Таким образом, мы доказали, что если векторы \(\overrightarrow{DC}\) выражены как сумма векторов \(\overrightarrow{AP}\) и \(\overrightarrow{XB}\), то четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.