Подтвердите, что четырехугольник abcd будет параллелограммом, когда векторы dc выражаются как сумма векторов ap

  • 31
Подтвердите, что четырехугольник abcd будет параллелограммом, когда векторы dc выражаются как сумма векторов ap и xb, где p и x - произвольные точки.
Сумасшедший_Рыцарь
15
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно установить, что противоположные стороны параллельны.

Если векторы DC выражены в виде суммы векторов AP и XB, то можно записать:
DC=AP+XB

Нам также известно, что векторы AB и CD равны между собой:
AB=CD

Векторы можно представить как направленные отрезки смещения между точками. В нашем случае, векторы AB и CD представляют смещение от точки A к точке B и от точки C к точке D соответственно.

Если векторы DC и AB равны, то смещение от точки A к точке B будет таким же, как смещение от точки C к точке D. Это говорит о параллельности сторон AB и CD.

Для подтверждения этого, мы можем выразить векторы AB и CD через заданные векторы AP и XB.

Используя правила сложения векторов, можем записать:
AB=AP+PB
CD=DC=DA+AC

Теперь у нас две формулы, и мы можем сравнить их:

AB=AP+PB
CD=DA+AC

Если мы подставим выражение для DC (сумму AP и XB) вместо CD во вторую формулу, получим:

AB=AP+PB
DA+AC=AP+XB

Теперь мы можем сгруппировать подобные слагаемые и увидеть, что PB и XB взаимно уничтожаются:

AB=AP+PB
DA+AC=AP+XB

ABAP=PB
DA+AC=APXB

Теперь мы можем переписать выражение в виде:

PB=ABAP
APXB=DA+AC

Теперь отметим, что векторы PB и XB равны и противоположно направлены. Следовательно, PB=XB.

ABAP=XB
APXB=DA+AC

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при соответствующих векторах и убедиться, что они равны:

ABAP=XB
DA+AC=APXB

Из этого следует, что AB=DA и AP=AC.

Таким образом, мы доказали, что если векторы DC выражены как сумма векторов AP и XB, то четырехугольник ABCD является параллелограммом.