Подтвердите, что площадь регулярного четырехугольника составляет в 4 раза больше произведения радиусов вписанной

Бася_7739

64

Великолепно! Я с удовольствием помогу вам решить эту задачу.

Давайте начнем с определения регулярного четырехугольника. Регулярный четырехугольник - это четырехугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны между собой.

Пусть наш регулярный четырехугольник имеет сторону \(s\).

Теперь давайте посмотрим на вписанную окружность. Вписанная окружность регулярного четырехугольника касается каждой его стороны в ее середине. Радиус вписанной окружности можно обозначить как \(r\).

Описанная окружность, с другой стороны, проходит через каждую вершину регулярного четырехугольника. Радиус описанной окружности можно обозначить как \(R\).

Теперь давайте вычислим площадь регулярного четырехугольника. Площадь четырехугольника можно выразить через его сторону \(s\), используя следующую формулу:

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{2} s^2 \cdot \sin(\alpha),\]

где \(\alpha\) - угол, образованный одной из диагоналей четырехугольника и соседней его стороной.

Теперь давайте рассмотрим треугольник, образованный половиной диагонали регулярного четырехугольника, радиусом вписанной окружности и радиусом описанной окружности.

Высота треугольника равна \(R - r\) (разница между радиусами описанной и вписанной окружностей).

Угол \(\alpha\), образованный диагональю и одной из сторон четырехугольника, равен \(\frac{\pi}{4}\) (так как четырехугольник регулярный).

Теперь мы можем выразить площадь регулярного четырехугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей и косинус угла \(\alpha\):

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(R - r)^2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right).\]

Чтобы упростить это выражение, мы можем заметить, что \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Также мы можем заметить, что \(R = s/2\) (так как описанный круг проходит через каждую вершину четырехугольника).

Подставляя все значения, получаем:

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{s}{2} - r\right)^2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Следовательно,

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{8} (s^2 - 4sr + 4r^2) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Из этого выражения мы можем видеть, что сторона четырехугольника входит в выражение несколько раз, поэтому давайте выразим ее через радиусы вписанной и описанной окружностей:

\[s = 2(R + r).\]

Подставляя это выражение, мы получаем:

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{8} ((2(R + r))^2 - 4(2(R + r))r + 4r^2) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Упростим это выражение:

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{8} (4R^2 + 8Rr + 4r^2 - 8Rr - 8r^2 + 4r^2) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Сокращаем:

\[S_{\text{ч}} = \frac{1}{8} (4R^2) \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Упрощаем дальше:

\[S_{\text{ч}} = R^2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Подставляем обратно \(R = s/2\):

\[S_{\text{ч}} = \left(\frac{s}{2}\right)^2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
\[S_{\text{ч}} = \frac{s^2}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Теперь рассмотрим произведение радиусов вписанной и описанной окружностей:

\[r \cdot R = r \cdot \left(\frac{s}{2}\right) = \frac{sr}{2}.\]

Наша цель - доказать, что площадь четырехугольника составляет в 4 раза больше этого произведения умноженного на косинус угла, образованного.

Поэтому давайте сравним эти два выражения:

\[S_{\text{ч}} = \frac{s^2}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
\[4(r \cdot R) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{sr}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Упрощаем:

\[S_{\text{ч}} = \frac{s^2}{4} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
\[4(r \cdot R) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = sr\sqrt{2}.\]

Теперь мы можем увидеть соотношение:

\[S_{\text{ч}} = 4(r \cdot R) \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right).\]

Таким образом, мы доказали, что площадь регулярного четырехугольника составляет в 4 раза больше произведения радиусов вписанной и описанной окружностей, умноженного на косинус угла, образованного.

Надеюсь, этот подробный ответ позволяет вам лучше понять задачу. Если у вас возникнут еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!