Подтвердите, что середина отрезка между двумя параллельными прямыми всегда является серединой любого другого отрезка

Солнечный_Бриз_6397

42

Чтобы подтвердить данное утверждение, давайте рассмотрим ситуацию, где у нас есть две параллельные прямые \(l_1\) и \(l_2\), и дан отрезок \(AB\) такой, что он пересекает эти прямые. Нам нужно доказать, что точка \(M\), которая является серединой отрезка \(AB\), также является серединой любого другого отрезка, проходящего через неё и имеющего концы на прямых \(l_1\) и \(l_2\).

Давайте обозначим точку пересечения прямых \(l_1\) и \(l_2\) как точку \(O\). Поскольку прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны, то каждая из этих прямых образует с отрезком \(AB\) параллельные отрезки, обозначим их как \(AC\) и \(BD\) соответственно. Таким образом, отрезок \(AB\) можно представить в виде суммы отрезков \(AC\) и \(BD\), то есть \(AB = AC + BD\).

Теперь рассмотрим отрезок \(A"D"\), проходящий через точку \(M\) и имеющий концы на прямых \(l_1\) и \(l_2\). Обозначим точку пересечения отрезка \(A"D"\) с прямой \(l_1\) как точку \(C"\), а точку пересечения отрезка \(A"D"\) с прямой \(l_2\) как точку \(D"\). Нам нужно доказать, что \(M\) является серединой отрезка \(A"D"\), то есть что \(AM = MD"\).

Данный отрезок \(A"D"\) также можно представить в виде суммы отрезков \(AC"\) и \(BD"\), то есть \(A"D" = AC" + BD"\). Поскольку прямые \(l_1\) и \(l_2\) параллельны и \(AC\) равно \(AC"\), а \(BD\) равно \(BD"\), то получаем, что

\[AB = AC + BD = AC" + BD" = A"D"\]

Таким образом, мы получили, что отрезок \(AB\) равен отрезку \(A"D"\). Из этого равенства следует, что

\[AM = MD"\]

то есть точка \(M\) является серединой отрезка \(A"D"\).

Таким образом, нашим доказательством подтверждается, что середина отрезка между двумя параллельными прямыми всегда является серединой любого другого отрезка, проходящего через неё и имеющего концы на тех же прямых.