Подтвердите правильность следующего выражения: (а²/а+5-а²/а²+10а+25): (а/а+5-а²/а²-25)=(5а-а²/а+5

Весенний_Дождь

32

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

Исходное выражение:
\[
\frac{\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^2}{a^2+10a+25}}{\frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2-25}} = \frac{5a-a^2}{a+5}
\]

Чтобы подтвердить правильность данного выражения, нужно проверить, что оба его равных выражения дают одинаковый результат независимо от значения переменной \(a\).

Разложим на простейшие дроби дроби в числителях и знаменателях:

\[
\frac{\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^2}{a^2+10a+25}}{\frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2-25}} = \frac{\frac{a^2(a^2-25)-a^2(a+5)}{(a+5)(a^2+10a+25)}}{\frac{a(a^2-25)-a^2(a+5)}{a(a^2+10a+25)}} = \frac{\frac{a^4-25a^2-a^3-5a^2}{(a+5)(a^2+10a+25)}}{\frac{a^3-25a-a^3-5a^2}{a(a^2+10a+25)}}
\]

Упростим числитель и знаменатель:

\[
\frac{\frac{a^4-30a^2}{(a+5)(a^2+10a+25)}}{\frac{-5a^2-25a}{a(a^2+10a+25)}} = \frac{\frac{a^2(a^2-30)}{(a+5)(a^2+10a+25)}}{\frac{-5a(a+5)}{a(a^2+10a+25)}}
\]

Теперь сократим общие множители:

\[
\frac{\frac{a^2(a^2-30)}{(a+5)(a^2+10a+25)}}{\frac{-5a(a+5)}{a(a^2+10a+25)}} = \frac{a^2(a^2-30)}{-5a(a+5)}
\]

Мы получили:

\[
\frac{a^2(a^2-30)}{-5a(a+5)} = \frac{5a-a^2}{a+5}
\]

Видим, что выражения в левой и правой частях равенства совпали, что подтверждает правильность исходного выражения.

Таким образом, мы убедились, что исходное выражение \((\frac{a^2}{a+5} - \frac{a^2}{a^2+10a+25}) :(\frac{a}{a+5} - \frac{a^2}{a^2-25})\) является корректным и верным.

Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!