Показать, что прямая OB разделяет трапецию на две фигуры одинаковой площади. Найдите отношение площадей трапеций ADMN

Звездная_Ночь

31

Чтобы показать, что прямая OB разделяет трапецию ADMN на две фигуры одинаковой площади, давайте посмотрим на свойства равных треугольников и равнобедренных трапеций.

Из данного условия задачи мы знаем, что AD = 3BC. Нам также дано, что две высоты трапеции, проведенные из вершин A и B, пересекаются в точке O.

Для начала, давайте обратим внимание на треугольники AOB и CBO. Так как треугольники имеют общую высоту (проведенную из точки O), а одна сторона треугольника AO равна 3-му умноженному на сторону треугольника CO (AO = 3CO), то по свойству равных треугольников эти треугольники равны.

Таким образом, площади треугольников AOB и CBO равны.

Кроме того, поскольку трапеция ADMN является равнобедренной (AD = DM) и точка O делит основания трапеции пополам (BO = ON), мы можем заключить, что треугольники ADM и BNM также равны по площади.

Таким образом, трапеция ADMN распадается на две фигуры одинаковой площади: треугольники AOB и CBO обладают одинаковой площадью, а также треугольники ADM и BNM имеют равную площадь. Сумма этих двух фигур равна площади всей трапеции ADMN.

Отношение площадей трапеций ADMN и BCMN можно записать следующим образом:

\[\frac{{S_{ADMN}}}{{S_{BCMN}}} = \frac{{S_{AOB} + S_{ADM}}}{{S_{AOB} + S_{CBN}}}\]

Так как площади треугольников AOB и CBO равны, а площади треугольников ADM и BNM также равны, то отношение площадей трапеций ADMN и BCMN равно 1:

\[\frac{{S_{ADMN}}}{{S_{BCMN}}} = \frac{{S_{AOB} + S_{ADM}}}{{S_{AOB} + S_{CBN}}} = \frac{{S_{AOB} + S_{ADM}}}{{S_{AOB} + S_{AOB}}} = \frac{{S_{AOB} + S_{ADM}}}{{2S_{AOB}}} = 1\]

Таким образом, площади трапеций ADMN и BCMN одинаковы.