Если диагонали оснований правильной усеченной пирамиды равны √32 м и √8 м, то какова площадь полной поверхности и объем

Поющий_Хомяк

60

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала нам нужно найти высоту усеченной пирамиды. Заметим, что усеченная пирамида имеет два правильных треугольника на основаниях, поэтому каждая диагональ основания — это диагональ правильного треугольника. Длина диагонали основания равна стороне правильного треугольника умноженной на √3/2. Используя эту формулу, мы можем выразить стороны наших треугольников.

Сторона первого треугольника равна √32 м, поэтому длина его диагонали:
\[a_1 = \sqrt{32} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \ м.\]
Сторона второго треугольника равна √8 м, поэтому длина его диагонали:
\[a_2 = \sqrt{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{6} \ м.\]

Теперь мы должны найти высоты обоих треугольников. Высота правильного треугольника может быть найдена с использованием формулы \(h = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), где \(a\) — сторона треугольника.

Высота первого треугольника:
\[h_1 = \frac{\sqrt{32} \cdot \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{6} \ м.\]
Высота второго треугольника:
\[h_2 = \frac{\sqrt{8} \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \ м.\]

Теперь мы можем найти площади оснований правильных треугольников. Площадь правильного треугольника может быть вычислена с помощью формулы \(S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\).

Площадь первого треугольника:
\[S_1 = \frac{(\sqrt{32})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 8 \sqrt{3} \ м^2.\]
Площадь второго треугольника:
\[S_2 = \frac{(\sqrt{8})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{3} \ м^2.\]

Теперь мы можем вычислить площадь полной поверхности пирамиды, используя формулу:
\[S_{\text{полн}} = S_1 + S_2 + a_1 \cdot a_2.\]

Подставив наши значения, мы получим:
\[S_{\text{полн}} = 8 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6} = 10 \sqrt{3} + 8 \sqrt{18} \ м^2.\]

Для удобства дальнейших вычислений, давайте упростим этот ответ:
\[\begin{aligned} S_{\text{полн}} &= 10 \sqrt{3} + 8 \sqrt{18} \ м^2 \\ &= 10 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 \sqrt{2} \ м^2 \\ &= 10 \sqrt{3} + 24 \sqrt{2} \ м^2. \end{aligned}\]

Наконец, мы можем рассчитать объем пирамиды. Объем усеченной пирамиды задается формулой:
\[V = \frac{1}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \cdot h.\]

Подставив наши значения, получим:
\[\begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot (8 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{8 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{3}}) \cdot (2 \sqrt{6}) \ м^3 \\ &= \frac{1}{3} \cdot (10 \sqrt{3} + \sqrt{48}) \cdot 2 \sqrt{6} \ м^3 \\ &= \frac{1}{3} \cdot (10 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sqrt{6} \ м^3 \\ &= \frac{1}{3} \cdot 14 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{6} \ м^3 \\ &= \frac{28 \sqrt{18}}{3} \ м^3 \\ &= \frac{28 \cdot 3 \sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{3} \ м^3 \\ &= 28 \sqrt{2} \sqrt{3} \ м^3 \\ &= 28 \sqrt{6} \ м^3. \end{aligned}\]

Таким образом, площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна \(S_{\text{полн}} = 10 \sqrt{3} + 24 \sqrt{2}\ м^2\), а ее объем \(V = 28 \sqrt{6}\ м^3\).