Покажите на графике множество точек, которые удовлетворяют следующим неравенствам: 1) уравнение 4х + 3y – 5 больше

Zvezdopad_Na_Gorizonte

21

Хорошо, для начала давайте решим каждое из неравенств и построим графики для каждого условия.

1) Уравнение \(4x + 3y - 5 \geq 0\):

Для начала, найдем точку пересечения с осью x, где y = 0:
\(4x + 3(0) - 5 = 0\)
\(4x - 5 = 0\)
\(4x = 5\)
\(x = \frac{5}{4}\)

Теперь найдем точку пересечения с осью y, где x = 0:
\(4(0) + 3y - 5 = 0\)
\(3y - 5 = 0\)
\(3y = 5\)
\(y = \frac{5}{3}\)

Таким образом, у нас есть две точки: \(\left(\frac{5}{4}, 0\right)\) и \(\left(0, \frac{5}{3}\right)\).

Мы можем взять еще одну точку, например, легко видим, что точка \((1, 2)\) удовлетворяет первому неравенству.

Давайте построим график и закрасим область, которая удовлетворяет неравенству.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & y & 4x + 3y - 5 \geq 0\\
\hline
\frac{5}{4} & 0 & \text{True} \\
\hline
0 & \frac{5}{3} & \text{True} \\
\hline
1 & 2 & \text{True} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Area} & x & y & 4x + 3y - 5 \geq 0\\
\hline
\text{Shaded} & \text{Any value} & \text{Any value} & \text{True} \\
\hline
\end{array}
\]

Таким образом, область, которая удовлетворяет первому неравенству, представлена на графике следующим образом:

[построение графика с закрашенной областью]

Теперь перейдем ко второму неравенству.

2) Уравнение \(2x^2 + 3x - 3x - 1 > 0\):

Упростим уравнение:
\(2x^2 - 1 > 0\)

Чтобы решить это неравенство, найдем его корни, где \(2x^2 - 1 = 0\):
\(2x^2 = 1\)
\(x^2 = \frac{1}{2}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}\)

Мы видим, что у нас два корня: \(-\sqrt{\frac{1}{2}}\) и \(\sqrt{\frac{1}{2}}\).

Теперь мы знаем, что корни делят координатную плоскость на три части: интервалы \((-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}})\), \((- \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}})\) и \((\sqrt{\frac{1}{2}}, +\infty)\).

Давайте выберем по одной точке из каждого интервала и проверим их значения.

Для интервала \((-\infty, -\sqrt{\frac{1}{2}})\), давайте возьмем \(x = -1\):
\[
2(-1)^2 - 1 = 0
\]
Что не удовлетворяет неравенству.

Для интервала \((- \sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}})\), давайте возьмем \(x = 0\):
\[
2(0)^2 - 1 = -1
\]
Что также не удовлетворяет неравенству.

Для интервала \((\sqrt{\frac{1}{2}}, +\infty)\), давайте возьмем \(x = 1\):
\[
2(1)^2 - 1 = 1
\]
Что удовлетворяет неравенству.

Теперь давайте построим график и закрасим область, которая удовлетворяет неравенству.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 2x^2 - 1 > 0\\
\hline
-1 & \text{False} \\
\hline
0 & \text{False} \\
\hline
1 & \text{True} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Area} & x & 2x^2 - 1 > 0\\
\hline
\text{Shaded} & x < -\sqrt{\frac{1}{2}} \text{ or } x > \sqrt{\frac{1}{2}} & \text{True} \\
\hline
\end{array}
\]

Область, удовлетворяющая второму неравенству, изображена на графике следующим образом:

[построение графика с закрашенной областью]

Теперь перейдем к третьему неравенству.

3) Уравнение \(x^2 - 2y - 3 > 3x\):

Упростим неравенство:
\(x^2 - 3x - 2y - 3 > 0\)

Чтобы решить это неравенство, найдем вершину параболы, где \(x = -\frac{b}{2a}\):
\(x = -\frac{-3}{2 \cdot 1}\)
\(x = \frac{3}{2}\)

Теперь найдем значение у, подставив найденное значение x в уравнение:
\[
\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - 2y - 3 > 3 \cdot \frac{3}{2}
\]
\[
\frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 2y - 3 > \frac{9}{2}
\]
\[
-2y - \frac{19}{4} > 0
\]
\[
y < -\frac{19}{8}
\]

Теперь давайте построим график и закрасим область, которая удовлетворяет неравенству.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & y & x^2 - 2y - 3 > 3x\\
\hline
\frac{3}{2} & -\frac{19}{8} & \text{False} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Area} & x & y & x^2 - 2y - 3 > 3x\\
\hline
\text{Shaded} & \text{Any value} & y < -\frac{19}{8} & \text{True}\\
\hline
\end{array}
\]

Область, удовлетворяющая третьему неравенству, изображена на графике следующим образом:

[построение графика с закрашенной областью]

Наконец, рассмотрим четвертое неравенство.

4) Уравнение \(0.5x^2 + y - 2x < 1\):

Упростим неравенство:
\(0.5x^2 - 2x + y - 1 < 0\)

Необходимо для начала найти ветви параболы, для этого найдем вершину параболы, где \(x = -\frac{b}{2a}\):
\(x = -\frac{-2}{2 \cdot 0.5}\)
\(x = 2\)

Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в уравнение:
\[
0.5(2)^2 - 2(2) + y - 1 < 0
\]
\[
2 - 4 + y - 1 < 0
\]
\[
y - 3 < 0
\]
\[
y < 3
\]

Теперь давайте построим график и закрасим область, которая удовлетворяет неравенству.

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & y & 0.5x^2 - 2x + y - 1 < 0\\
\hline
2 & 3 & \text{False} \\
\hline
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Area} & x & y & 0.5x^2 - 2x + y - 1 < 0\\
\hline
\text{Shaded} & \text{Any value} & y < 3 & \text{True}\\
\hline
\end{array}
\]

Область, удовлетворяющая четвертому неравенству, изображена на графике следующим образом:

[построение графика с закрашенной областью]

Таким образом, наш график будет состоять из всех точек, которые удовлетворяют каждому из неравенств.

[построение графика с закрашенными областями]

Пожалуйста, дайте мне знать, если у вас возникнут еще какие-либо вопросы или если я могу вам чем-то еще помочь.