Пользуясь имеющимися данными, пожалуйста, составьте эскиз графика функции f(x): а) Функция возрастает на интервале

Игоревна

4

Конечно! Давайте начнем с первой задачи.

а) Для того чтобы нарисовать эскиз графика функции, мы должны понимать, как она ведет себя на заданных интервалах. Дано, что функция возрастает на интервале \((- \infty, \frac{1}{2}]\) и убывает на интервале \([\frac{1}{2}, + \infty)\).

На интервале \((- \infty, \frac{1}{2}]\) функция возрастает. Это означает, что по мере увеличения значения \(x\), значение функции тоже увеличивается. Мы можем выбрать несколько точек на этом интервале и записать их значения:

\[
f(-1) = 3, \quad f(-0.5) = 2, \quad f(0) = 1, \quad f(0.5) = -1
\]

Теперь рассмотрим интервал \([\frac{1}{2}, + \infty)\). На этом интервале функция убывает. Это значит, что по мере увеличения значения \(x\), значение функции уменьшается. Выберем несколько точек на этом интервале и запишем их значения:

\[
f(1) = -2, \quad f(2) = -3, \quad f(3) = -4, \quad f(4) = -5
\]

Теперь, чтобы нарисовать график, мы можем построить оси координат и отметить на них точки с соответствующими значениями \(x\) и \(f(x)\). Затем соединим эти точки плавными линиями, учитывая направление возрастания и убывания функции на заданных интервалах.

\[
\begin{array}{ccccccccccccccc}
& \ldots & -1 & \ldots & -0.5 & \ldots & 0 & \ldots & 0.5 & \ldots & 1 & \ldots & 2 & \ldots & 3 & \ldots \\
f(x) & \ldots & 3 & \ldots & 2 & \ldots & 1 & \ldots & -1 & \ldots & -2 & \ldots & -3 & \ldots & -4 & \ldots \\
\end{array}
\]

Таким образом, график функции \(f(x)\) для первой задачи будет выглядеть примерно следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\nearrow \searrow \\
\\
\\
\\
\end{array}
\]

Продолжим к следующей задаче.

б) Здесь говорится, что функция возрастает на интервалах \((- \infty, 1]\) и \([3, +\infty)\), а также убывает на интервале \([1, 3]\).

На интервале \((- \infty, 1]\) функция возрастает. Давайте выберем несколько точек на этом интервале и запишем их значения:

\[
f(-2) = -4, \quad f(-1) = -2, \quad f(0) = 0, \quad f(1) = 2
\]

Теперь рассмотрим интервал \([3, +\infty)\). Здесь функция снова возрастает. Выберем несколько точек на этом интервале и запишем их значения:

\[
f(3) = 4, \quad f(4) = 6, \quad f(5) = 8, \quad f(6) = 10
\]

Теперь посмотрим на интервал \([1, 3]\), на котором функция убывает. Выберем несколько точек на этом интервале и запишем их значения:

\[
f(1) = 2, \quad f(2) = 1, \quad f(3) = 0
\]

Соединим эти точки на графике:

\[
\begin{array}{ccccccccccccccccc}
& \ldots & -2 & \ldots & -1 & \ldots & 0 & \ldots & 1 & \ldots & 2 & \ldots & 3 & \ldots & 4 & \ldots & 5 & \ldots \\
f(x) & \ldots & -4 & \ldots & -2 & \ldots & 0 & \ldots & 2 & \ldots & 1 & \ldots & 0 & \ldots & 4 & \ldots & 6 & \ldots \\
\end{array}
\]

Таким образом, график функции \(f(x)\) для второй задачи будет выглядеть примерно следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{array}
\]

Перейдем к третьей задаче.

в) Здесь говорится, что функция \(f(x)\) является четной и что наибольшее значение \(x\) равно 0, наименьшее значение \(x\) равно 1, \(f(0) = 4\), \(f(1) = ?\).

Так как функция четная, то для любого значения \(x\) функция \(f(x)\) будет равна значению функции для аргумента, взятого с противоположным знаком. То есть, если \(f(x)\) принимает значение \(y\) при \(x\), то она будет принимать значение \(-y\) при \(-x\).

Для данного случая, мы знаем, что \(f(0) = 4\). Так как функция четная, \(f(-0) = f(0) = 4\).

Также нам известно, что наибольшее значение \(x\) равно 0, а наименьшее значение \(x\) равно 1. Зная, что функция четная, мы можем заключить, что она проходит через точки \((-1, 4)\) и \((1, 4)\).

Теперь мы должны найти значение \(f(1)\). Так как функция четная, \(f(-1) = f(1) = 4\). То есть, \(f(1) = 4\).

Таким образом, график функции \(f(x)\) для третьей задачи будет выглядеть примерно следующим образом:

\[
\begin{array}{c}
\\
\nearrow \searrow \\
\\
\\
\end{array}
\]

Надеюсь, это помогло вам понять каждую задачу и составить соответствующий эскиз графика функции. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!