Пользуясь заданными линиями и осью х, найдите площадь ограниченной фигуры вычислением определенного интеграла

Schuka

53

Хорошо, чтобы решить эту задачу, вам понадобится использовать определенный интеграл. Для начала, нам нужно найти точки пересечения функции \(f(x) = 5 - x^2\) с заданными линиями и осью \(x\).

Пусть \(y = 0.5\) - это прямая, с которой мы ограничиваем фигуру. Чтобы найти точку пересечения, мы можем приравнять \(f(x)\) и \(0.5\):

\[5 - x^2 = 0.5\]

Теперь решим это уравнение. Перенесем \(0.5\) на другую сторону:

\[-x^2 = -4.5\]

Чтобы избавиться от отрицательного знака, умножим обе части на \(-1\):

\[x^2 = 4.5\]

Теперь найдем корень из обеих сторон уравнения:

\[x = \sqrt{4.5}\]

Таким образом, точка пересечения будет \(x = \sqrt{4.5}\) или около \(x \approx 2.121\) (возьмем округленное значение, чтобы упростить дальнейшие вычисления).

Теперь у нас есть верхний предел интегрирования (\(x = 2.121\)) и нижний предел интегрирования (\(x = 0.5\)). Теперь нам нужно найти выражение для интегрируемой функции \(f(x)\) в заданном диапазоне.

Итак, общая формула для вычисления площади ограниченной фигуры с использованием определенного интеграла выглядит следующим образом:

\[Площадь = \int_{a}^{b} f(x) dx\]

где \(a\) и \(b\) - верхний и нижний пределы интегрирования соответственно, а \(f(x)\) - функция, площадь под которой мы хотим найти.

Теперь подставим значения в формулу.

\[Площадь = \int_{0.5}^{2.121} (5 - x^2) dx\]

Чтобы решить этот интеграл, нам потребуется использовать правило интегрирования функции \(5 - x^2\).

Воспользуемся правилом интегрирования суммы и разности функций:

\[\int (a - b) dx = \int a dx - \int b dx\]

Применяя это правило к нашему интегралу, мы получаем:

\[\int (5 - x^2) dx = \int 5 dx - \int x^2 dx\]

Раскроем скобки:

\[\int 5 dx - \int x^2 dx = 5x - \frac{x^3}{3} + C\]

где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь мы можем вычислить значения интеграла, подставив \(a\) и \(b\) в полученную формулу:

\[Площадь = \left[ 5x - \frac{x^3}{3} \right]_{0.5}^{2.121}\]

Подставим значения:

\[Площадь = \left[ 5(2.121) - \frac{(2.121)^3}{3} \right] - \left[ 5(0.5) - \frac{(0.5)^3}{3} \right]\]

Вычислим значения выражения в скобках и получим площадь ограниченной фигуры.

\[Площадь \approx 6.938 - 1.25 \approx 5.688\]

Таким образом, площадь ограниченной фигуры между \(x = 0.5\) и \(x \approx 2.121\) равна примерно 5.688.