После 2019 прыжков кузнечиков в чехарде, могут ли они вернуться на исходные позиции? (Требуется применение теории

Эдуард

50

Для решения этой задачи мы можем использовать теорию графов. Нам понадобится представить позиции прыжка кузнечиков в виде вершин графа, а ребра будут соединять вершины, если кузнечики могли перейти из одной позиции в другую.

Давайте представим каждое состояние прыжка кузнечиков как последовательность позиций, где каждый кузнечик имеет свою собственную позицию. При каждом прыжке каждый кузнечик может переместиться на одну из двух соседних позиций, а также может остаться на месте.

Теперь давайте нарисуем граф для этой задачи с использованием представленных позиций. Предположим, что у нас есть 3 кузнечика и 4 позиции. Мы можем представить это следующим образом:

\[
\begin{array}{cccccccc}
1 & 2 & 3 & 4 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{array}
\]

Посмотрим на граф выше. Можем ли мы вернуться в исходные позиции?

На первом ряду каждый кузнечик может переместиться на соседнюю позицию или остаться на месте. Значит, из каждой вершины первого ряда есть 3 возможных пути: остаться на месте и двигаться налево или направо. Аналогично, на каждом следующем ряду у нас также есть 3 возможных пути из каждой вершины.

Теперь взглянем на количество путей в последнем ряду графа. Из каждой позиции в последнем ряду мы можем двигаться только налево или оставаться на месте. Значит, в итоге каждый кузнечик сможет вернуться в свою исходную позицию, только если количество путей в последнем ряду равно количеству вершин в этом ряду.

В нашем примере у нас 4 позиции в последнем ряду и 3 кузнечика, значит, количество путей в последнем ряду не будет равно количеству вершин в этом ряду. Следовательно, после 2019 прыжков кузнечики не смогут вернуться в исходные позиции.

Опираясь на этот принцип, мы можем применить теорию графов для любого числа кузнечиков и позиций. Если количество путей в последнем ряду будет равно количеству вершин, то кузнечики могут вернуться в исходные позиции. В противном случае, если количество путей отличается от количества вершин, кузнечики не смогут вернуться в исходные позиции.