После замыкания ключа k на схеме, изображенной на рисунке, через некоторое время τ наступит установившийся режим

Светлый_Ангел_6639

13

Для решения данной задачи, нам нужно выразить мощность, выделяемую в резисторе r, в зависимости от изменяющегося расстояния между пластинами конденсатора.

Сначала рассмотрим схему, изображенную на рисунке. Ключ k замкнут, что означает, что конденсатор заряжается до определенного напряжения. После замыкания ключа, начинаются изменения расстояния между пластинами конденсатора в соответствии с заданным законом d(t) = d0(1 + a sin ωt), где d0 - начальное расстояние, a - амплитуда изменений, ω - частота.

Перейдем к определению мощности, выделяемой в резисторе r. Мощность P можно выразить как P = U * I, где U - напряжение на резисторе, I - ток, протекающий через резистор.

Начнем с нахождения напряжения на резисторе. Заряд Q на конденсаторе можно выразить как Q = C * U, где C - емкость конденсатора, U - напряжение на конденсаторе.

Расстояние между пластинами конденсатора d(t) изменяется со временем, поэтому и его емкость C(t) будет меняться. Зависимость емкости от расстояния можно выразить как C(t) = ε * S / d(t), где ε - диэлектрическая проницаемость среды, S - площадь пластин конденсатора.

Таким образом, изменение заряда на конденсаторе будет равно ΔQ(t) = C(t) * ΔU, где ΔU - изменение напряжения на конденсаторе.

Согласно определению тока I = dQ(t) / dt, где dQ(t) - изменение заряда за время dt, то можно записать I = C(t) * dU(t) / dt.

Мы можем выразить dU(t) / dt, заметив, что dU(t) = U(t) - U0, где U(t) - напряжение на конденсаторе в момент времени t, U0 - начальное напряжение на конденсаторе. Тогда dU(t) / dt = dU(t) / d(t) * d(t) / dt, где dU(t) / d(t) - производная напряжения по изменению расстояния d(t) / dt.

Производную dU(t) / d(t) можно выразить, зная, что напряжение U(t) на конденсаторе зависит от емкости C(t) и заряда Q(t), или U(t) = Q(t) / C(t). Тогда dU(t) / d(t) = dQ(t) / C(t)d(t) - Q(t)dC(t) / C^2(t)d(t).

Мы также знаем, что Q(t) = C(t)U(t) и dC(t) = -εS / d(t)^2d(t), поэтому dU(t) / d(t) = (dQ(t) / d(t)) / C(t) + (Q(t) * εS) / (C(t)d(t)^2).

Теперь, обратимся к заданной формуле расстояния d(t) = d0(1 + a sin ωt). Если мы продифференцируем ее по времени t, получим d(t) / dt = d0aω cos ωt.

Мы заметим, что d(t) / dt = (d(t) / dt) / (d(t) / dt), где (d(t) / dt) - производная изменения расстояния при изменении времени.

Теперь, можем записать dU(t) / dt = [(dQ(t) / d(t)) / C(t)] / [(d(t) / dt) / (d(t) / dt)] + (Q(t) * εS) / (C(t)d(t)^2).

Учитывая формулу Q = C * U, можем записать dQ(t) / d(t) = d(C * U) / d(t) = C(t)dU(t) / d(t) + U(t)dC(t) / d(t).

Подставляя это выражение в предыдущее, получим dU(t) / dt = [(C(t)dU(t) / d(t) + U(t)dC(t) / d(t)) / C(t)] / [(d(t) / dt) / (d(t) / dt)] + (Q(t) * εS) / (C(t)d(t)^2).

Сокращая схожие выражения и учитывая предположение об изменении емкости при быстрых изменениях, получим dU(t) / dt = (dU(t) / d(t)) * [(1 + (U(t) * εS) / C(t)d(t))] / (d(t) / dt).

Введем обозначение k = (εS) / C0, где C0 - начальная емкость конденсатора. Тогда dU(t) / dt = (dU(t) / d(t)) * [(1 + k * U(t) / d(t))] / (d(t) / dt).

Теперь вернемся к определению тока I = C(t) * dU(t) / dt и можем записать I = C(t) * (dU(t) / d(t)) * [(1 + k * U(t) / d(t))] / (d(t) / dt).

Обратимся к определению мощности P = U * I и заменим I в этом выражении. Получим P = U * [C(t) * (dU(t) / d(t)) * [(1 + k * U(t) / d(t))] / (d(t) / dt)].

Для решения быстрых изменений, когда 2π/ω << τ, можно предположить, что производные (dU(t) / d(t)) и (d(t) / dt) малы по сравнению с U(t) и d(t) соответственно.

Используя это предположение, мы можем упростить выражение, игнорируя производные, и получаем P = U * C0 * (1 + k * U(t) / d(t)).

Наконец, можем выразить мощность P, выделяемую в резисторе r, как P = U^2 * C0 * (1 + k * U(t) / d(t)) / r.

Таким образом, мощность, выделяемая в резисторе r, при быстрых изменениях емкости, будет равна U^2 * C0 * (1 + k * U(t) / d(t)) / r.

Учитывая заданные параметры e, r, a, мы можем использовать это выражение для определения мощности, выделяемой в резисторе r. Подставьте значения параметров в данное выражение и вычислите ответ.