Постройте диаграмму для уравнения y=x^2-6x+3 и определите следующее: а) корни функции; б) интервалы, где y равно нулю

Солнечный_Шарм

4

Хорошо, я помогу вам решить эту задачу и создать диаграмму для уравнения \(y = x^2 - 6x + 3\). Давайте начнем с графика уравнения:

1) Построение графика:

Для начала, давайте найдем вершину параболы, используя формулу \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В данном случае, \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 3\).

\[x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]

Теперь мы знаем, что абсцисса вершины параболы равна 3. Чтобы найти ординату вершины, подставим \(x = 3\) в уравнение:

\[y = (3)^2 - 6(3) + 3 = 9 - 18 + 3 = -6\]

Получаем, что ордината вершины равна -6. Таким образом, вершина параболы находится в точке (3, -6).

Теперь построим параболу с использованием вершины и немного дополнительной информации. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола будет открыта вверх.

Для построения диаграммы, отметим вершину (3, -6) на графике. Затем выберем еще несколько точек, зная, что парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, и что расстояние между точками до вершины равно.

Выберем точку справа от вершины. Пусть \(x = 4\). Подставим это значение в уравнение:

\[y = (4)^2 - 6(4) + 3 = 16 - 24 + 3 = -5\]

Таким образом, вторая точка на графике будет иметь координаты (4, -5).

Выберем точку слева от вершины, симметричную выбранной ранее точке. То есть, пусть \(x = 2\). Подставим это значение в уравнение:

\[y = (2)^2 - 6(2) + 3 = 4 - 12 + 3 = -5\]

Таким образом, третья точка на графике будет иметь координаты (2, -5).

Теперь мы можем нарисовать параболу, проходящую через эти три точки.

2) Анализ функции:

а) Корни функции:

Чтобы найти корни функции, необходимо найти значения \(x\), при которых уравнение \(y = x^2 - 6x + 3\) равно нулю. Для этого решим уравнение:

\[x^2 - 6x + 3 = 0\]

Применив квадратное уравнение, получим:

\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{2}\]

\[x = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{2}\]

\[x = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{2}\]

\[x = 3 \pm \sqrt{6}\]

Таким образом, корни функции \(y = x^2 - 6x + 3\) равны \(x = 3 + \sqrt{6}\) и \(x = 3 - \sqrt{6}\).

б) Интервалы, где \(y\) равно нулю и где \(x\):

Мы уже решали уравнение \(x^2 - 6x + 3 = 0\) и получили корни \(x = 3 + \sqrt{6}\) и \(x = 3 - \sqrt{6}\).

Из уравнения видно, что значение \(y\) будет равно нулю при указанных значениях \(x\). Таким образом, интервалы, где \(y\) равно нулю, это отрезки между корнями \(x = 3 + \sqrt{6}\) и \(x = 3 - \sqrt{6}\).

в) Интервалы возрастания и убывания функции:

Обратимся к графику, который мы построили ранее. Пара интервалов возрастания и убывания функции:

- Функция возрастает при \(x < 3 - \sqrt{6}\), то есть при значениях \(x\) меньше \(3 - \sqrt{6}\).
- Функция убывает при \(3 - \sqrt{6} < x < 3 + \sqrt{6}\), то есть при значениях \(x\) между \(3 - \sqrt{6}\) и \(3 + \sqrt{6}\).
- Функция снова возрастает при \(x > 3 + \sqrt{6}\), то есть при значениях \(x\) больше \(3 + \sqrt{6}\).

г) Минимальное значение функции:

Мы можем найти минимальное значение функции, зная, что она открыта вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный) и имеет вершину в точке (3, -6).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = x^2 - 6x + 3\) равно -6.

Вот и все! Мы построили диаграмму и ответили на все вопросы о функции \(y = x^2 - 6x + 3\). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать. Я всегда готов помочь!